一般的量子力学教材求解谐振子和氢原子时，最终要处理一个二阶的微分方程。用级数求解这个微分方程似乎是个挺麻烦的过程。但其实这个微分方程有个非常好的性质，就是其作用在x^n上时，不会产生次数更高的项，也就是其对应的矩阵是个上三角矩阵，而上三角矩阵的本征值就是其对角元。所以，谐振子和氢原子的能级的计算，在做到这一步的时候，剩下的是小学三年级的算术。 

我们把这个小技巧写了个note投到了美国物理杂志（american journal of physics）。这个教学杂志非常难中，鄙人之前的若干次投稿都被拒了。好在欧洲物理杂志（european journal of physics）标准似乎低一些，最终都能在欧洲物理杂志上发。

这次倒是很顺利，三个审稿人都同意。

教本科量子力学的老师也许可以参考一下。

A shortcut to the eigenvalues of the harmonic oscillator and the hydrogen atom.pdf

这个伎俩其实对其他可解模型都适用，比如morse振子，三维谐振子等。

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