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以前写了博文谈了对Ax=b的认识,主要侧重几种表达形式、几何意义及其扩展,在教学中发现理解表述的还是不好,所以用C语言画了些图,通过一个简单的例子来说明。就这个例子:
图1、先画出向量x,(0.6261,0.3261)’(黄色的带箭头的矢量),
绿色的向量表示自然基坐标,即(1,0)’和(0,1)’:
图2、画向量a1即(1.5,0.5)和a2即(0.8,1.8):
图3、A乘向量相当于A对自然基空间进行了变换,使得空间伸缩旋转,空间变成蓝色网格:
图4、同时Ax,使向量x变成了向量b (红色向量):
图5、从坐标的视角看,向量b(红色)在自然基坐标下是(1.2,0.9)’(综色线对应),它在A下对应的值(仔细看紫色画出对应值),还是(0.6261,0.3261)’,即x的值:
综上所述Ax=b可从两个视角看待:
第一,从变换的角度,A把x变成b ,求x就是问“哪个向量经A变换后是b”,这种看法在求A的特征向量特征值时非常有用,我在“图说幂法求特征值和特征向量”的博文中已谈过,不严格的来说,给定一初始向量,用A不断的变换,就会变到主特征值方向。
第二,从坐标的角度,求x,就是问“向量b在A张成的坐标空间下的坐标值是什么”。
图6、顺便提一下,还可以从第三种视角看待:
这个例子就是二元一次方程组求解,
求x就是“求两条直线的交点”。中学是这么理解的,如果你记得太深,可能就是学不好《线性代数》的原因。理解线性代数最好用上面的空间变换坐标变换的视角看问题,这样也有利于理解多维空间。
图7、把上面的图画一起,总结一下,看得不乱就理解得更好了:
图8、对于欠定方程组,A是行满秩矩阵,(这里只能画平面二维的,即一个方程的方程组),如只有方程
a21x1+a22x2=b2
求x1,x2,就一条直线,解都在这直线上(对多维情况可能在某超平面上),有无穷多个解:
图9、但是在工程中,对于欠定方程组我们也要得到一个解,好吧,就找一个离原点最近的解向量,此向量垂直于直线。
A=[0.5,1.8], b2=0.9,
A右逆=A'*inv(A*A'),解为A'*inv(A*A')*b2,解向量为(0.1289,0.4642)’。
图10、超定线性方程组的解,简单说一下,假设再加一方程x1-2x2=-2,即a31=1,a32=-2,b3=-2;
矩阵A是三行两列的,三个方程,两个未知数,无解,但可以找到最小二乘解,如图,黑灰色的向量,顶点到三条直线的距离和最小:
图11、解超定线性方程组,也可从空间视角看,Ax=b,如在三维空间,A只是给定的两列向量,a1=(1.5,0.5,1)’,a2=(0.8,1.8,-2)’,在a1、a2张成的空间中,找一向量等于b=(1.2,0.9,-2)’,或者也问“向量b在A张成的坐标空间下的坐标值是什么”,这里b不在a1、a2张成的空间(平面)内,但是可找到最小二乘解x,几何上也是把b投影到a1a2平面上的向量x,向量b-x垂直于a1a2平面,所以称为法方程。本例中A左逆=inv(A'*A)*A',解为inv(A'*A)*A'*b,即x=(0.0476,0.8344),如上图。三维图不易画:
也可参考如下二维和一维情况。
图12、解超定线性方程组, b=(1.2,0.9)’,A=(1.5,0.5)’,方程为(a11,a21)'x1=(b1,b2)',解为inv(A'*A)*A'*b=0.8720:
即也是把二维向量b投影到向量A的空间,这里A是一维的。
这就是Ax=b,就这么简单,理解不理解,有时就一念之差,确实,越简单的东西有时越有得琢磨。
Ax=b之一:
http://blog.sciencenet.cn/blog-797552-980553.html
图说幂法求特征值和特征向量
http://blog.sciencenet.cn/blog-797552-1033056.html
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