以前写了博文谈了对Ax=b的认识，主要侧重几种表达形式、几何意义及其扩展，在教学中发现理解表述的还是不好，所以用C语言画了些图，通过一个简单的例子来说明。就这个例子：

图1、先画出向量x,(0.6261,0.3261)’（黄色的带箭头的矢量），

绿色的向量表示自然基坐标，即(1,0)’和(0,1)’：

图2、画向量a1即(1.5,0.5)和a2即(0.8,1.8)：

图3、A乘向量相当于A对自然基空间进行了变换，使得空间伸缩旋转，空间变成蓝色网格：

图4、同时Ax，使向量x变成了向量b (红色向量)：

图5、从坐标的视角看，向量b(红色)在自然基坐标下是(1.2,0.9)’（综色线对应），它在A下对应的值(仔细看紫色画出对应值)，还是(0.6261,0.3261)’，即x的值：

  综上所述Ax=b可从两个视角看待：

第一，从变换的角度，A把x变成b ,求x就是问“哪个向量经A变换后是b”,这种看法在求A的特征向量特征值时非常有用，我在“图说幂法求特征值和特征向量”的博文中已谈过，不严格的来说，给定一初始向量，用A不断的变换，就会变到主特征值方向。

第二，从坐标的角度，求x,就是问“向量b在A张成的坐标空间下的坐标值是什么”。

图6、顺便提一下，还可以从第三种视角看待：

这个例子就是二元一次方程组求解，

 求x就是“求两条直线的交点”。中学是这么理解的，如果你记得太深，可能就是学不好《线性代数》的原因。理解线性代数最好用上面的空间变换坐标变换的视角看问题，这样也有利于理解多维空间。

图7、把上面的图画一起，总结一下，看得不乱就理解得更好了：

图8、对于欠定方程组，A是行满秩矩阵，（这里只能画平面二维的，即一个方程的方程组），如只有方程

a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

求x1,x2,就一条直线，解都在这直线上（对多维情况可能在某超平面上），有无穷多个解：

图9、但是在工程中，对于欠定方程组我们也要得到一个解，好吧，就找一个离原点最近的解向量，此向量垂直于直线。

A=[0.5,1.8], b2=0.9，

A右逆=A'*inv(A*A')，解为A'*inv(A*A')*b2，解向量为(0.1289,0.4642)’。

图10、超定线性方程组的解，简单说一下，假设再加一方程x1-2x2=-2,即a31=1,a32=-2,b3=-2;

矩阵A是三行两列的，三个方程，两个未知数，无解，但可以找到最小二乘解，如图，黑灰色的向量，顶点到三条直线的距离和最小:

图11、解超定线性方程组，也可从空间视角看，Ax=b，如在三维空间，A只是给定的两列向量，a1=(1.5，0.5，1)’，a2=(0.8，1.8，-2)’，在a1、a2张成的空间中，找一向量等于b=(1.2，0.9，-2)’，或者也问“向量b在A张成的坐标空间下的坐标值是什么”，这里b不在a1、a2张成的空间(平面)内，但是可找到最小二乘解x，几何上也是把b投影到a1a2平面上的向量x，向量b-x垂直于a1a2平面,所以称为法方程。本例中A左逆=inv(A'*A)*A'，解为inv(A'*A)*A'*b，即x=(0.0476，0.8344)，如上图。三维图不易画：

也可参考如下二维和一维情况。

图12、解超定线性方程组， b=(1.2，0.9)’，A=(1.5,0.5)’，方程为(a11,a21)'x1=(b1,b2)',解为inv(A'*A)*A'*b=0.8720：

即也是把二维向量b投影到向量A的空间,这里A是一维的。

这就是Ax=b，就这么简单，理解不理解，有时就一念之差，确实，越简单的东西有时越有得琢磨。

Ax=b之一:

http://blog.sciencenet.cn/blog-797552-980553.html

图说幂法求特征值和特征向量

http://blog.sciencenet.cn/blog-797552-1033056.html