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答二傻-兼说彭加莱回复定理和刘维定理
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在科学网上写这种东西非常影响点击率，而且我还不会用Latex，贴图又慢。所以，我姑且説之，二傻姑妄听之。
先说刘维定理。刘维（J.Liouville）证明说：
如果一大堆统计性质相同的系统构成微正则系综的话，又如果系综中的系统皆是内部只有保守力场的体系能量恒定的系统，又如果这些系综中的每个系统的每个状态都可以用相空间的一个点来描述，则在某个时刻，相空间上系综中的系统们出现在某个区域的概率密度一定，则随时间演化，这些系统也许在相空间换了位置，运动到了新区域，但是这些系统在新区域的概率密度跟老区域是一样的，不会发生变化。
上面这话好抽象，为了防止有人绕晕，请先去查以下概念：相空间，系综，微正则系综，保守力场，能量恒定，哈密顿算符，概率密度。（如果这里任何概念让你犯晕，就别往下看了，谢谢。）
刘维方程及刘维定理是个典型的来自动力系统的方程，其对时间可逆。但是H定理，表面看也是个动力学方程，但是居然对时间不可逆。这让彭加勒（H.Poincare）很不爽，认为热力学和动力学是根本不相容的。然后他证明了：对于一个有限体积的保守系统，假定其哈密顿量是有界的，则其广义坐标和广义动量皆有界，这样可以证明，在相空间中，表达体系的相点经过足够长的时间以后会回到表示起始运动状态的相点的无穷小邻域。而这个返回时间，被称为彭加勒回复时间（Poincare recurrence time）。
据此，E.Zermelo和J.Loschmidt都对波尔兹曼的H定理提出责难。历史上的回答很复杂。
我的回答很简单，波尔茨曼一开始玩的就是统计学，根本没有刘维的前提假设，也没有彭加勒的前提假设。首先就没有什么能量恒定的事-这根本就是没法观察的，也没法测量的。哪怕非常小的破坏或者扰动，刘维和彭加勒就玩不下去了。这玩不下去的证明，正好是彭加勒给出的关于三体问题出现混沌的问题。换言之，波尔兹曼一开始就假设了系统进入一种可以克服轻微扰动的情况，不论是他的等概率假设，还是关于H函数随时间单调下降的假设。
－－－－－－－对话－－－－
包德海：这个二傻好像懂嘢！
【刘维定理】~ “不可压缩流体方程”
【H定理】~ “热二之熵增原理”
【庞加莱回归时间】---- 太长了！所以等于不存在。。。
二傻是说，对于此种矛盾，您有何深入的思考？
仅仅说玻尔兹曼不考虑能量守恒？他真的不考虑能量守恒定律吗？
博主回复(2012-12-29 22:52)：是说，能量守恒是个统计意义上的守恒，也就是说当你观察体系的时候，你实际上就破坏了体系的能量守恒。我们根本观察不到所谓孤立系，那完全是个理论概念。实际上上可观察的体系，时时刻刻都在外部扰动中，所以体系的运动结果，就一直是不断加轻微扰动的结果
【刘维定理】~ “不可压缩流体方程”
【H定理】~ “热二之熵增原理”
【庞加莱回归时间】---- 太长了！所以等于不存在。。。
二傻是说，对于此种矛盾，您有何深入的思考？
仅仅说玻尔兹曼不考虑能量守恒？他真的不考虑能量守恒定律吗？
博主回复(2012-12-29 22:52)：是说，能量守恒是个统计意义上的守恒，也就是说当你观察体系的时候，你实际上就破坏了体系的能量守恒。我们根本观察不到所谓孤立系，那完全是个理论概念。实际上上可观察的体系，时时刻刻都在外部扰动中，所以体系的运动结果，就一直是不断加轻微扰动的结果
博主回复(2012-12-29 22:53)：当然在Bolzmann年代，统计理论还不够发达，我认为他是直觉到的。
－－－－－再说明－－－－－－－－
我认为如果真存在孤立系的话，仅就像气体分子这样的系统而言，彭加勒和刘维都对。但是，我们在真实的情况下，碰到的都是波尔兹曼描述的系统。我不是说一个系统测量出来的能量不能恒定，而是这个系统能量不断有进有出，测量起来是恒定的，但其运动行为则不断被外部扰动。
https://blog.sciencenet.cn/blog-731678-647630.html
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