主贴：Bertrand悖论浅析02  

设x-y坐标中大圆半径为2a，若任意弦长大于内接正三角形边长的概率为1/4，则弦的中点在三个坐标系的分布情况如下：

第一图是r-θ坐标系，中间的竖线为r=a，此时弦长为内接正三角形边长。r>a的部分点的密度较大，意味着弦长小于内接正三角形边长的概率较大。

第二图是x-y坐标系，点是均匀分布的，

第三图是φa-φb坐标系，点不是均匀分布的。

在x-y坐标中，y值相同的点构成了直线系y=b，b为常数。

这些直线在r-θ坐标系中，构成了曲线系r|Sin[θ]|=b。

在φa-φb坐标系中构成了曲线系a(Sin[φb]+Sin[φa+φb])=b。如梯田一般的图形。

在x-y坐标中，x值相同的点构成了直线系x=b，b为常数。

这些直线在r-θ坐标系中，构成了曲线系r|Cos[θ]|=b。在直角坐标系里旋转90度相当于在r-θ坐标系中沿θ的方向平移了π/2。

在φa-φb坐标系中构成了曲线系a(Cos[φb]+Cos[φa+φb])=b。线系在φb方向上平移了π/2。

Mathematica程序：0.2、1可以修改，改为1、1或1、0.2就能得到这9个图像

另外两种：

1.概率为1/2时，弦的中点在r-θ坐标系中均匀分布。

2.概率为1/3时，弦的中点在φa-φb坐标系中均匀分布。