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“品质因数”Q 精选

已有 6404 次阅读 2017-12-11 00:12 |个人分类:电子电工技术|系统分类:教学心得|关键词:品质因数,RLC串联,谐振频率| 谐振频率, RLC串联, 品质因数

本文分为三个部分:Q的起源Q的计算Q的两个定义是否等价?


一、Q的起源

品质因数(quality factor)一般用Q表示。

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The concept of Q originated with K. S. Johnson of WesternElectric Company'sEngineering Department while evaluating the quality of coils (inductors). Hischoice of the symbol Q wasonly because, at the time, all other letters of the alphabet were taken. Theterm was not intended as an abbreviation for "quality" or"quality factor", although these terms have grown to be associatedwith it.[5][6][7]

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上面那段话来自维基百科,前面两句翻译过来就是:“这一概念起源于西方电气公司工程部的KS Johnson。他选择Q,是因为在那个时候,所有其他字母表上的字母都被拿走了。”最后一句话,我的理解是:“我们可以说某个电路的Q较大或较小,但是不能说这个电路的品质较高或较低”。

有人可能会认为“Q较大的电路品质较高”,对于需要放大单个频率的电路,确实Q较大效果较好,杂音较少。但对于需要放大一定范围内多个频率信号(例如人耳可听频率范围20Hz-20kHz)的电路,却是Q较小效果较好,高音低音不会太过失真,这时是否说明“Q较小的电路品质较高”呢?不同需求的电路不能一概而论,为了避免混淆,最好的做法就是不提电路品质的高低,只提电路Q的大小。

二、Q的计算

Q的有两个定义:

定义1

Q=fr/Δf

那么frΔf是又什么?

以RLC串联电路为例,振幅相等但频率不同的信号,通过RLC串联电路时会有不同的电流,横坐标为频率f,纵坐标为电流有效值I时,可画出函数图像。fr为谐振频率,若信号电压U和电阻R不变,谐振频率信号将有不变的最大电流Ir。有功功率为最大值一半时,电流约为最大值的0.7倍,此时会对应两个f,差值即为Δf

下方动画展示了U602mV、频率为0-35kHz的信号,在R相同但LC不同的RLC串联电路里的f-I函数图。因为R60Ω不变,所以Ir10mA不变;LC虽然都在变,但只要两者乘积不变,电路的fr是不会变的,在动画里fr一直15kHz不变;然而在不同的电路里Δf26.02kHz变到了0.97kHz可根据定义算出Q0.58变到了15.48Δf越小Q越大。另外,fr不一定位于Δf中点。(2017.12.11.12点修改)


但是这个动画如果要用定义1的实验数据得出,需要设计并测量90多个Ir相等的电路,每个电路至少需要测量约30组不同频率的数据,而且最后还不一定能拟合出函数方程。我的动画实际上是用另外一个定义画的。


定义2

Q=ωr×最大储存能量/损耗功率

当然,这个定义我也是第一次看到,一般的电工学教材里没有。若电流有效值为I,电压有效值为U,比较简单的情况有下面三种:

1.RLC串联谐振时

各元件的I相等,U不同。

最大储存能量为L储存的能量LI2,或者C储存的能量CUC2

损耗功率为I2R

带入定义式则可以约掉I2I,得到:

Q=ωrL/R=UL/UR

2.RLC并联谐振时

各元件的I不同,U相等。

最大储存能量为L储存的能量LIL2,或者C储存的能量CU2

损耗功率为U2/R

带入定义式则可以约掉U2U,得到:

Q=ωrCR=IC/IR

换成L能看到更清楚,这一结果与串联情况的互为倒数

Q=R/ωrL=IL/IR

3.RL串联再与C并联谐振时

RLI相等,UCUR+UL相等。

最大储存能量为L储存的能量LIL2,或者C储存的能量CUC2

损耗功率为IL2R

带入定义式则可以约掉IL2IL若R较小,则可以做一些近似并得到:

Q=ωrL/R=UL/UR

根据上面的推导可知,不同的电路有不同的计算Q的方法,一般的电工学教材只具体分析了两种情况,而且给出的公式并不是通用的


三、Q的两个定义是否等价?

可以证明:Q的这两个定义在RLC串联时完全等价。证明过程:

串联时,RLC的大小为初始条件,可以看成常数,信号电压有效值为U(常数),电流有效值为I(变量,纵坐标数据),两者的比值为阻抗大小,若频率为f(变量,横坐标数据)。那么:


前面那个动画是我用上面这个公式画的,这种函数想用数据画图然后通过线性拟合的方法找到,应该不太可能。

两边平方后,移项开方去分母就能得到一个f的一元二次方程,套公式就能得到fI的函数关系,本来一个I对应4f,但f必须大于0,去掉两个明显为负的以后,一个I就只对应2f了:


I=IrU=IrRf=fr为谐振频率,分子有些项会为0,最后能得到:


I=0.7Irf有两个值,两值相减后分子上相同的项就被减掉了,剩下的为:


那么:


上式左边为Q的定义1,右边可以用Q的定义2推出,两个定义的结果是相等的,证明完毕。

并联电路从I/U=1/Z出发开始推导或许会简单点,留着以后慢慢推吧。不过维基百科上说只有Q比较大时,两个定义才会近似等效。其他电路无论是谐振频率还是总阻抗都要复杂很多,或许不一定能推出两个定义严格相等。


后记----------------------

1.下周做三相电路吧。

2.动画使用的软件是几何画板:软件网址扣扣视频秀:软件网址



http://blog.sciencenet.cn/blog-729147-1089085.html

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