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【科网大学(2)】:华罗庚给物理学家出的一道智力题 精选

已有 21295 次阅读 2012-6-24 13:39 |个人分类:科学探索|系统分类:科普集锦| 物理, 华罗庚, 辫子群


【科网大学(2)】:华罗庚给物理学家出的一道智力题

 

话说上回,在二傻的博文中: 怀念【郭汉英】先生 精选

提到了下面这段故事:


记得大约是1992年夏天,在南开大学举办了一场量子群国际会议。在会议期间,郭老师给我们出了一道智力题,说是华罗庚老先生在1970年给相对论批判小组(其实是理论物理所的前身)的年轻人出的。郭老师认为这道智力题与当时国际上正热门的辫子群也许会有一些深刻的关联。。。

题目是这样的:有N个黑棋子和N个白棋子,挨个摆成一条直线,黑子全部在一边,而白子全部在另一边。如果每次移动一对互相挨着的棋子并摆放到直线上(这对棋子移动时不能颠倒),如何在N次移动之后将全部棋子变成黑白相间的次序?

为了这道题,我和戴建辉(昵称:阿呆)两人,足足忙了三天三夜!终于找到了通解!在常哲的监督下,我们将一付围棋顺着地面一溜儿摆上,在规定的N次之后,果然实现了黑白相间!大家赶紧向郭老师汇报战果,郭老师笑笑:当时他只用了一个下午就解决了华老的这道智力题。。。


应大家的强烈要求,二傻就在这里将答案解秘了啊?哈哈!

 

首先,要解决这类问题,没有捷径可走,必须从最简单的特例开始探索。。。

于是,我们开始试2个黑白子的情况,这个、这个。。。无解!太简单啦!


然后,我们开始试3个黑白子(奇数)的情况(费时3分钟):


3

0

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

然后,我们开始试4个黑白子(偶数)的情况(费时15分钟)

 

4

0

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

 

没看出有啥规律?那,我们开始试5个黑白子的情况(费时60分钟)

 

5

0

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

我们发现,5个黑白子的情况与3个黑白子的情况,虽然都是奇数情况,它们却没有类似的操作规律!

真麻烦嘢!那,我们再继续试试6个黑白子的情况(费时3小时)

 

6

0

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

6

 

 

 

 

到此,我们再分析一下,可以发现:除了3的情况特殊之外,其它456的情况都有如下共性:

(1)    第一步都是一样的!

(2)    最后一步也是一样的!

(3)    最后结果都是向右整体平移2格!

 

但是,最最关键的第二步,到底应该挪动哪两个黑子,却没有规律可循。。。。。。

真麻烦嘢!那,我们只好再继续试试7个黑白子的情况(费时6小时)

 

7

0

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

6

 

 

 

7

 

 

 

 

哎呀!最最关键的第二步,到底应该挪动哪两个黑子,还是没有规律可循。。。。。。

真麻烦嘢!那,我们只好再继续试试8个黑白子的情况(费时18小时)

 

8

0

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

6

 

 

 

7

 

 

 

8

 

 

 

 

哎呀!最最关键的第二步,到底应该挪动哪两个黑子,还是没有规律可循。。。。。。

真麻烦嘢!

那,我们再继续试试9个黑白子的情况???

 


阿呆和阿瓜

。。。


这时候,阿呆突然冒出灵光:

--- 我们总是这么试,可能很难找到通解。。。也许应该观察系统中那些【不动点】,

--- 等找到所有【不动点】位置的规律之后,也许剩下的就好办了?

 

找【不动点】?嘢!这个二傻是强项!立马发现以下规律:

13个子的情况,由于有太多异常,肯定是特例。

24个子的情况,不动点是【白1&【黑3

35个子的情况,不动点是【白2&【黑2

46个子的情况,不动点是【白1&【黑1】【黑5

57个子的情况,不动点是【白4&【黑2】【黑6

68个子的情况,不动点是【白1】【白5&【黑3】【黑7

 

看着这些规律,看着看着。。。惚兮恍兮、恍兮惚兮,二傻脑袋突然大冒傻气!

原来真是有规律的!

但是规律不是按照奇数、偶数(【模2】)来分类的,而是按照【模4】来分类的!

这就是说:

--- 8个子的情况与4个子的情况是一类的!

--- 9个子的情况与5个子的情况是一类的!

。。。。。。

 

而且,各【不动点】也是按照【模4】的规律一直排下去的。。。

比如,我们可以猜到:

--- 对于9个子的情况,可以按照5个子的规律,其不动点应该是【白2】【白6&【黑2】【黑6】。。。

 

哈哈哈!哈哈哈哈!

既然已经发现了这么多【不动点】,剩下的允许移动的成对的东东就很有限了。。。

其规律就很好找了。。。嘢!

 

当初和阿呆整出通解之后,二傻很是得意!用密码将操作步骤记录在一个崭新的笔记本上,

美其名曰【南谊密宗】!(因为当时我们是在南开大学的谊园里找到通解的)。。。

可惜,后来,这本密宗被二傻弄丢了!通解也忘得一干二净了!

 

一晃十几年过去,去年在郭先生追悼会期间,又见到阿呆,

二傻问他是否还记得郭先生给的那道华罗庚的黑白子问题的解法?

他大眼一瞪:啊?忘记了!好像是【模4】和【不动点】规律,云云。。。

 

今年,在写郭老纪念文章的时候,二傻又想起这道题,下决心非得把【南谊密宗】重新找回来不可!

于是求助著名的【鬼门派】高手(鬼王、想尔、无维等),请他们用计算机程序把4567891011个子的低阶情况帮二傻整出来,二傻就能重新发现通解!

二傻还发誓答应与他们分享“知识产权”。。。。。。

 

结果,结果。。。【鬼门派】在网上竟帮二傻找到了一个高人:【姑苏寒士】!

按照【姑苏寒士】自己的说法,他也是在1970年听到华罗庚的这道题目,当时他还在蹲牛棚呢。。。

二傻估计这位【姑苏寒士】现在也是理论物理学界的老高手吧?到底是谁呢?


在网上看到他给出的极其简洁的证明,二傻觉得自己的【南谊密宗】立马失去存在的价值!

真郁闷焉!所谓“天外有天、人外有人”也!

【姑苏寒士】说了:他的证明可以自由传播,但是不能用于算命牟利。。。

于是,二傻决定在【科网大学】给大家讲讲!只是不要用于骗钱哦?嘿嘿!

 

根据4567子特例的结果分析,我们知道,他们是有解的;

而且,最终结果都是“系统整体最终向右平移2个空格”。

 

现在我们开始运用数学归纳法入下:

 

【假设】:当N=K时,系统“有解”(指在K次移动之后完成从初始状态到最终状态的转化),而且最终结果是“系统整体都是最终向右平移2个空格”(这个假设至少对4567子的特例是正确的),参看以下蓝色图示,假设黑白子各为K个:

 

初始状态:○○○○○○●●●●●●

中间状态: 。。。。。。。。。。。。

最终状态:    ●○●○●○●○●○●○

 

则我们可以证明:在N=K+4的情况下,系统也一定“有解”。

 

证明过程如下:

【1】初始态:○○○○○○○○○○●●●●●●●●●●

【2】第一步:○  ○○○○○○○●●●●●●●●●●○○

【3】第二步:○●●○○○○○○○●●●●●●  ●●○○

【4】然后大家注意中间蓝色部分,根据假设,可以用K步完成转变:

○●●○  ●○●○●○●○●○●○●●○○  

【5】倒一步:○●●○●○●○●○●○●○●○●○●  ○

【6】最终态:  ●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○

 

于是,在K+4=N步时,确实完成了系统的转变!

而且,最终结果也还是“系统整体最终向右平移2个空格”!

所以,以上操作,可以对所有自然数成立!

(证毕!)

 


。。。。。。

。。。

 

【后记】

 

大家千万不要浅尝辄止哦?

--- 这可是华罗庚给物理学家们出的题目也!

其深刻含义或其在物理学的潜在应用价值,正如【四色定理】一样,目前尚未得到充分的认识。。。

 

不过,考虑到这种过程其实是一种双线【辫子】的编织过程,其中的操作元,既不是对易的,也不是反对易的。。。其实,它是一种特殊的【辫子群】结构!二傻喜欢称之为【天狼星辫子群】。

 

直觉上,【天狼星辫子群】似乎可以有以下几方面的物理应用前景:

--- 【有序系统向无序系统的过渡】(比如:黑白墨水扩散模型)的直白演示。。。

--- 【离散系统最小作用量原理】(统计力学)的一维演示。。。

--- 【铁磁性物质ISING模型的解析解钥匙】。。。

--- 【超导原理的某种可能机制】。。。

--- DNA双螺旋结构的最优解构法】。。。

 

二傻老了!不中用了!不像你们,还年轻!

希望【科网大学】的同学们,能够高举【天狼星辫子群】的旗帜,奋勇前进!

。。。

。。

【补记】


清华大学物理教授【文克玲】先生对该问题亦是早有研究,

还借用量子力学中的【量子数】概念,非常简洁地证明了:

N阶【移棋换位】问题,最少需要N步才能实现

其证明过程,实在值得在此大力宣传!


文先生的证明过程如下:


定义:相邻两个棋子颜色不同,称为一个“反序”。

显然,初始状态有一个反序,最终状态有(2N-1)个反序。

目标:n次移动需要增加(2N-2)个反序。

而第一次移动,至多增加一个反序;以后的每次移动,至多增加两个反序。

所以,n次移动至多增加(2n-1)个反序。

因为要求:2n-1>=2N-2

所以必须:n>=N-1/2

而且由于: n是正整数

于是结果:n(minimum)=N。 (证毕)


如此一来,华老的问题就全部而且完备地得到解决了!

【1】N阶【移棋换位】问题,N步一定可以解决!(而且可以给出具体算法)

【2】N阶【移棋换位】问题,最少必须N步才能解决。

。。。。。。

。。。


【参考文献】:

《辫子群,纽结理论及统计力学》(杨振宁、葛墨林著)

 



http://blog.sciencenet.cn/blog-5190-585336.html

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