1. 小巫在演示用身体节奏来学习数数和乘法表时，后面附加讲了一位不善数学的儿童，使用此法后非常兴奋的经历。不过，说完此段后，最好稍作解释，说明擅长数学的儿童，也是需要这种方法的。

     

     否则容易造成误解，以为华德福这种数学教学方法，仅是针对于弱智儿童，或不善数学的儿童。后面的听众提问，就反映出受到了这种无意中的误导。

     对于不善数学的儿童，这种方法确实可以帮助他们掌握数学，此处最好稍加一句，作为点睛之笔，即，为什么这种方法，会比其他方法有优异之处，答案是华德福的身-心-脑理论。

 

     对于擅长数学的儿童，这种方法的作用是，可以将涌到儿童大脑的能量，拉回到身体，使身心脑不致分离过多。分离过多，即使是大人都会出问题，如陈景润，更何况孩子。现代数学家们，都非常注意锻炼身体的，有很多人也非常愿意做家务，从而得保高寿，如跟陈景润齐名的王元院士，现在80岁了，还参加我们的讨论班，还做报告的。

2.  小巫，在讲述其儿子学习路程类应用题时，说明了她的形象的解决办法（加2个小人，具体测量）。不过，她没有很清楚地说明，她的做法，对于她儿子来讲，是最优的，另一个“角度”问题也类似。

     实际上，确实可能有更优的解决方法，即，Moore教学法，要点是，给学生们充足的时间去自己探索。老师所作的应该是，观察学生，并在学生疲惫阶段，注意力下降的临界线上，给予适当的阶梯性提示。

     Moore教学法，在美国已经逐渐开始普及，原因是Moore本人，就教出了三位美国数学会会长。

     数学，归根结底，是要鼓励孩子的自我探索精神。任何大人代劳的思考，不管想多少花样，其实对于学生的本身数学能力，帮助不会太大。在这里，反而是帮的越少，花样越少，学生的进步可能越大。

3.  小巫，在用绳子演示模10完全剩余系中的乘法时，可能需要不仅知其然，也知其所然。这实际上是初等数论课程的一个定理，估计在新课标中，已经由大学下放到了中学。

      

      我就担心，万一一个天资特别聪颖的孩子，非要打破砂锅问到底，问问这个绳子游戏背后的道理，老师将如何面对。

       实际上，这种情况是非常可能发生的。

      数学，关键的是敏感度，是对未知的敏感度。有些天资聪颖的学生，这方面敏感度极高，但是问出问题来，普通的老师答不上来，反而斥之为怪物，让同班同学们一起笑话他。非常遗憾的是，传统公立学校中，这样的事情确实是有的。

     所以，数学老师，最重要的精神，是揭示未知的精神，和学习的精神，如果老师本人没有学习和探索未知的精神，只是教而不学，对存在的问题视而不见（甚至也阻碍学生发现），可以想见，他们是不会带出多好的学生出来的。

4. 这些用游戏学数学的活动，跟传统的数学课，有什么关系，它是否能取代传统的、抽象形式的数学课程。

     我的答案是不能。因为，它们本来就不是一个东西。传统的数学课程，更重视的是，让学生们掌握人类公认的数学符号系统，将符号系统，与其天生的数学思维相联络。现代心理学已经有实验证明，我观察自己的孩子也发现，他们天生地知道1+1=2，1+2=3，但我的孩子，刚开始的时候，不能使用人类公认的数学符号系统，他自己会用他的讲法，比如1和1是2，所以，大人所作的其实很简单，就是把“和”改成“加”，把“是”改成“等于”而已。

    当然，内容逐渐升上去后，难度会增加，但我们是不会试图教一个猩猩抽象的数学的，因为它们不可能有内在的数学思维，但是，孩子们有，所以我们才能教。

     所以，这个层次的训练，是数学游戏所无法取代的。但是，数学游戏有另外的好处，即，可以把孩子们，从抽象中，再拉回来，让身-心-脑重新整合。这对幼小教育，当然是非常有意义的。

    很显然，老师们将会面临这样一个问题，他们如何布置课时，使得课程均衡。既有传统的抽象化符号系统的训练，又能够联系于实际，联系于身体，联系于心灵。

     小巫的示范，主要还多是游戏和身体，实际上，华德福乃至现在不少数学家、政治家，都认识到，数学对培养人的情操，也是非常有用的。我看到的那本书，Active Arithmetic (by Henning Anderson)，其中一种操作方法，有点格式塔心理学和曼陀罗的味道，确实能对人性的整合，有好处。