一元二次方程：玩具级模型

王永晖

Toy Model 玩具级模型, 我印象中这个词是天才数学家陶哲轩博文里时常出现的，这里用来形容一元二次方程在中学数学中的作用倒是很恰当，就是当做一个玩具，给孩子们玩的。不是因为一元二次方程就比别的方程更重要，更有用，而是因为简单，就像乐高积木一样，拼不出来真实的大楼，但是作为一个玩具，拼出孩子们意象中的大楼，就够了。

我们小教室的5个孩子这学期开始学因式分解，顺带着把一元二次方程就学了。我这才了解到，中国教材教法，跟美国教材教法，不是太一样。

美国教材，是先教函数的，包括函数的图形性质，有了这个基础，再去学一元二次函数，及一元二次方程，就可以从图像上看，很直观。不过，存在的缺点可能是，没给出证明，根的公式是让孩子背下来的，也许后面会证吧。

中国教材，我看到的，即使是上海专攻奥数的市北中学的自编课本，也是先讲因式分解，然后隔几章才讲一元二次方程，完全没有图像，因为函数是后面才讲到的，一元二次函数的图形性质，要到下一年级课本才出现了。

人教版的一元二次方程，也是在一元二次函数之前，不过两章是紧挨着的，也还可以，就看老师讲课时候的意识了，先用代数方法，再来几何解释，好像我们当年也是这么学的。人教版的问题是，因式分解和一元二次方程，又差了整整一个年级，隔得太远，恐怕就不是授课教师的主观能动性可以克服的了。

美国孩子的平均数学水平要比中国差一个档次，不过，美国的数学教材，从这个意义上来说，不见得就比中国的教材差，至少立意不错，教材讲究的不是难度，真正做题还得靠另外的习题书。

我们因为人数少，可以单刀直入，更综合些。因式分解的初始阶段（还没有到难题的时候），配方法就可以讲到一元二次方程的求根公式，孩子们花了两三个小时推出来了。接着，因为有孩子已经学过函数及其图形性质，就可以把这些内容揉在一起讲，先由会的孩子介绍那些函数图形的知识，然后再由我启发他们，把这些知识跟一元二次方程联系起来。

华罗庚将这种代数和几何揉在一起称作“数形结合”，我们总结的时候，就可以左边一栏是代数性质及其推导，右边一栏是对应的几何性质。

这样讲，当然对孩子的理解力是个挑战，所以美国的讲法注重单边的图形，中国的讲法注重单边的代数，也可能在教学上容易一些，也有其好处。不过，教学中体现“数形结合”是非常重要的，只要在孩子们有能力的前提下，还是应该尽量一开始就这么揉着讲的。

教学记录太粗糙，就不放上来了，也许研究生助教，将来可以整理得更好些，形成课件再放到网上，将来内容也可以注入到她的硕士论文中。

因式分解，是中学数学整个六年中最难的两关之一，另一关是平面几何。当然，现在的孩子们会接触到技巧性很强的奥数题，就不见得因式分解是中学代数方面最难的了，但从教材上去理解，从学习顺序上去理解，把它当作最难的一关，还是成立的，此关一过，别有一重天。

大学生里面，虽然号称是上了大学，但其实可能一辈子都没过这一关的也是大有人在。展望未来，可以确定的是，不管有多少人花了那么多时间和精力去上奥数班或数学课外班，数学人才仍然会是稀缺的，因为这玩意儿不好入门，登山而行，一望一重天。