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实数与数轴上的点一一对应的质疑
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姜咏江
1977年以前，我在农村的一个中学教数学。一日猛然对“实数与数轴上的点一一对应”产生了兴趣。书上说：“点没有大小，只有空间位置”。书上又说：“线是点的排列”。那么实数轴的说法不就自相矛盾了吗？
实数的重要性质是“任意两个实数之间有无穷多个实数”。线上任意两点间有无穷多个点就不一定成立。为什么？
如果我们能够区分不同的点，那么我们就应该承认“点有邻点”，那么在数轴上就会有无穷多个点不能与实数对应。如果我们认为“点无邻点”，那么我们就不能区分不同的点，也不能将点排列起来。因为排列的概念是“一个接一个”放置的意思，不然“不同的点”也无从谈起。问题进入了“两难”境地。
任意两个实数之间我们总能够找出确定的实数，这称为实数的稠密性。而所谓的点却无法抽象出稠密性。
记得当时我抽象了一个“实点”的概念：一点与周围的有限个点组成一个实点。实点中任意一个点的位置就是实点的位置，因而实点内部的点无“距离”，如此可以承认线是点的排列，还可以证明任意两个实点间必有其他实点，说明实点有稠密性。这样可以解决“实数与数轴上的实点一一对应”，但又将问题推到了“有限与无限”问题上，照样是个难以说清楚的问题。
“实数与数轴上的点一一对应”是解析几何学的基础。抽象的思维和现实的思考之间总有很大的距离。
2010-1-30
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