我心如伊分享 http://blog.sciencenet.cn/u/张志东 在一个浮躁的社会和纷杂的年代,在心灵深处保持一片宁静的时空。

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终结猜想-16-三大困难 精选

已有 3492 次阅读 2019-8-1 08:12 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

2014在日本访问与铃木理教授的讨论取得一系列的成果,但是当时我对形势的判断有点过分乐观了。到完成相关工作,又经历了四年的时间,这期间我邀请铃木理教授访问沈阳4次(20140610-20140620 20140814-20140910 20150428-20150507 20150908-20150917),研究进展断断续续,经历了一个漫长而曲折的探索过程。总是感觉已经能够完成临门一脚,但是总是没有射出这一脚。几经曲折,最后,我们完成了两篇论文。目前发表出来的是有关克利福德代数学方面的工作,另外一篇拓扑学方面的论文待发表。

       科研如同练武,其中的许多道理是相通的。武林有江湖,其中有许多恩怨情仇,在科学界也同样有江湖。有江湖就有大小山头,有师徒辈分之传承,有门派之林立,有道统之纷争。金庸武侠小说笑傲江湖》中华山派分剑宗和气宗,两者为谁是武林之正统争斗多年。属于华山派剑宗的风清扬,是属于气宗的令狐冲的师叔祖,武功盖世、剑术通神,熟习独孤九剑,是金庸小说中剑术达到最高境界的高手之一。后来,风清扬将独孤九剑传给令狐冲。在与三维伊辛模型有关的江湖中,也无巧不巧发生了类似的事情。

大呆在博士研究生期间,去荷兰阿姆斯特丹大学合作培养一年,导师是Frank de Boer教授,博士论文工作是稀土-过渡金属化合物的结构和磁性。Frank de Boer教授是磁性材料领域的国际著名学者,是做实验的。大呆的博士论文主要是实验工作,仅有一部分是用晶体场理论来解释实验结果。大呆后来开展理论研究,是从最简单的分子场理论、自旋波理论、双量子阱电子态做起,基本上是博士毕业后自学自练。所以,大呆不是做理论物理的科班出身。尽管大呆的师傅不是理论物理方面的专家,大呆的师门与理论物理还是有很深的渊源。Frank de Boer教授的父亲Jan de Boer教授是著名的理论物理学家,是阿姆斯特丹大学理论物理研究所的建所所长,在统计物理方面也做出过重要的贡献,甚至也做过与伊辛模型相关的工作。老爷子是正宗的理论物理背景,是阿姆斯特丹理论物理学派的掌门人,可以说是理论物理的剑宗之代表人物。我与老爷子有过一面之缘,我当年赶上师傅的婚礼,在婚礼上见过老爷子。我的猜想论文发表后,我请师傅将我的论文转给祖师爷。当时90多岁的老爷子回话:我已经很久不做研究了,对该领域最近的进展不了解,无法做出评价。不过这让我想起了过去与学生做科研的美好时光,请转达我对志东的数学才能的欣赏老爷子这个态度是实事求是的态度,知之为知之,不知为不知,对自己已经不熟悉的东西不做具体的评价,同时又对晚辈的探索进行鼓励。 Jan de Boer教授为代表的剑宗讲究剑法之精妙,精益求精,理论推导是一步接着一步,每个招式均有章可循。某种程度上,大呆由于是自修武功,剑法不追求精湛,实用为上,可以有跳跃式思维,从总体上把控解决问题的方向,优先追求的是达到目标。不讲究招式,只求致胜。所以,某种程度上可以将大呆视为气宗之传人。大呆的猜想没有按照以往剑宗的路数亦步亦趋地推导结果(事实已经表明,按照剑宗的路数无法进行下去,肯定要卡壳),而是先气运丹田,后御气于剑,再剑随气转,大胆猜想,具有跳跃式思维的剑招。大呆的猜想论文发表后受到统计物理方面几位大牛的反对意见,包括四大天王、Perk教授等,他们都是剑宗一派的一等一高手。其中Perk教授目前在国际统计物理界可能已经是排名第一的高手(不算已经退出江湖/退休的牛人),在对三维伊辛模型的理解方面也可以说是排名前三的存在。我在网上检索Perk教授的资料,惊奇地发现他曾经在阿姆斯特丹大学获得硕士学位,而他的硕士生导师正是Jan de Boer教授。也就是说, Perk教授的师傅是我的师傅的父亲,从师承上论,他是我的师叔。无巧不成书,这是与三维伊辛模型求解相关的又一个巧合。正所谓,大水冲了龙王庙,一家人不识一家人。师叔与师侄打起来了。当然,事物都有两面性。实际上,在与Perk教授的多轮交锋和交流(包括几次Comments/Responses/Rejoinders以及数十个emails)中,我学习到许多有关三维伊辛模型的知识,不断加深了对三维伊辛模型的了解,理解更加深刻、精准。可以说,不知不觉中,我从Perk教授那里学习到剑宗的一些精妙招法。通过与Perk教授的交流,大呆能够比较全面地分析精确求解三维伊辛模型存在困难的根源。而且,大呆充分吸收剑宗追求精妙剑法之精神,在大胆猜想之后,回过头来小心求证。按照剑宗的路数,亦步亦趋地证明猜想。所以,无论Perk教授愿意不愿意,有心或者是无意,他在三维伊辛模型的故事中扮演了一个类似风清扬的角色。

我为什么要在我的博客中爆料以上这一段八卦故事?主要是惊叹世界之大无奇不有,巧合无处不在。世界说大也大,说小也小。在茫茫人海中的两个人的关系可以如此之近。实际上Perk教授早在2013年在他发表在Chinese Physics B 22 2013) 080508Comment中就为这个故事开了个头。以下是他的Comment中的原话:The search of such proofs was initiated by Groeneveld,[9] who found such a proof for the Mayer expansion as part of his thesis research under professor Jan de Boer, the father of professor Frank de Boer — one of the supervisors of Zhang Zhi-Dong’s thesis research. 他的意思很明显,我的工作与祖师爷(以及他的学生)的工作不吻合。肯定是错误的。他就差说,他也是Jan de Boer教授的学生了。实际上,在我们私下里的交流中,他(以及他的夫人海伦)一直存在这样的偏见或者说是优越感,他是Jan de Boer教授的学生,是做理论的,而Frank de Boer教授是做实验的,我是Frank de Boer教授的学生,是做实验的,根本不应该做三维伊辛模型这样的理论工作,做出的工作与他的不吻合,肯定是不对的。无论如何,Perk教授对我理解三维伊辛模型的问题帮助是很大的,为了表达我的感谢之情,在证明猜想的论文的致谢部分我对他的讨论表示了感谢(ZDZ acknowledges Prof. J.H.H. Perk for helpful discussion on properties of the transfer matrices)

三维伊辛模型与二维伊辛模型本质上的不同之处是,存在长程的非局域效应。二维伊辛模型的自旋相互作用都是最紧邻相互作用,其共同作用的效果也都是最紧邻相互作用。而加上第三维后,尽管自旋之间的相互作用仍然是最紧邻相互作用,在计及第三维方向上第一个自旋时,由于转移矩阵中已经排好了第一层二维平面中N个自旋的顺序,这个自旋的编号为N+1。所以,第三维度方向的一个自旋与平面内一个自旋的相互作用引起的状态变化,与平面内N个自旋的状态密切相关,可以说是纠缠到一起。沿着第三维度方向的一个最紧邻自旋可以看成是平面内遥远的第N+1个自旋。正所谓,近在眼前,远在天边。对所有在第三维度方向上排列的自旋均有这个效应。这就是所谓的非局域效应,或者非平庸的拓扑效应,与三维伊辛模型的整体相关联。是由于三维空间的固有的非平面性与表示自旋状态的转移矩阵的平面性的矛盾而导致的,是三维伊辛模型体系的内禀性质。任何精确的计算都必须考虑这个效应。遗憾的是,到目前为止,该领域数千篇文献(我的工作除外)都没有考虑这个效应。通常的低温展开、高温展开、重正化群理论、蒙特卡洛方法等均没有考虑这个效应。实际上,它们也无法考虑,因为体系的自旋数M是无限大!体系的状态数按2M次方增加。但是,长期以来,科学共同体一直错误地认为,这些近似的理论是三维伊辛模型的精确解的判据,基于一个信仰:因为它们与二维伊辛模型的精确解相符合,而且它们相互之间是吻合的,所以它们也适用于三维。

通过对三维伊辛模型的配分函数的分析,我们认为精确求解三维伊辛模型存在以下三大困难:非局域性:、非高斯性、非对易性。

) 非局域性: 用费米G矩阵变量的语言,很清楚在三维伊辛模型中存在非平庸的拓扑结构,为非局域的性质。用自旋变量(s)表达时也有拓扑效应,尽管此时所有的表达式都是局域的。 第三个转移矩阵V3必须跟随前两个转移矩阵V1V2中安排好的自旋变量(s)的顺序。由于这种顺序,尽管一个自旋与其第三维方向上一个最紧邻自旋的相互作用是最紧邻的,其效应是与平面中N个自旋的状态相关联的。 在三维伊辛模型系统的确存在全局性的效应,所有的自旋都纠缠到一起。可以理解,由向上和向下自旋构成的不同的拓扑状态(例如纽结、链圈)也对三维伊辛模型的配分函数、自由能以及其他的物理性质有贡献。很显然。任何仅仅考虑局域环境的方法,例如,普通的低温展开、普通的高温展开、蒙特卡罗方法、重整化群,都不是精确的。   

) 非高斯性: 每个费米高斯对应于一个旋转,它是旋转群(李群)的自旋子表示。李代数的自旋子表示对应于G矩阵的二次项表达式。G矩阵中高于二次项的表达式 (例如log V3), 不是李代数的元素。所以,带有G矩阵的高次项的e指数的元素(所谓的非线性项)不是李群的一个元素。问题变成如何线性化高次项,以致它成为李群的一个元素,为旋转的自旋子表示。

) 非对易性: 在二维,我们可以应用考夫嫚的方法,因为仅仅有一个费米弦,所有G矩阵的乘积与转移矩阵的每个部分都对易。然后,我们可以将体系投影成两个本征值分别为+1-1的弦的子空间。对于三维伊辛模型,转移矩阵V3中有许多对j乘积因子,每个有一个内因子Wj。所以,有很多内因子必须同时对角化,并且与整个V3对易。即使每个内因子与G2j G2j+2n-1两者都对易,这两个G矩阵不对易,但反对易。所以,似乎是无法同时对角化内因子Wj, G2j G2j+2n-1。进一步地,即使对于一个j,当人们用G矩阵的非线性变换,它还与转移矩阵V2V1 混杂到一起。即使在转移矩阵V3中的第j个因子对易,不同的j中的内因子WjV3.中的其他因子不对易。当我们同时对角化不同j的所有内因子时,不同的G2jG2j+2n-1在这个基下无法同时块状对角化。当我们可能用一些数学技巧重新定义两个G矩阵,从而成功地处理单个的j,无法同时处理所有的j

以上三大困难的根源实际是一个,就是在转移矩阵中存在的内因子是非线性的。这些困难是三维伊辛模型的根本性困难,是由于三维空间固有的非平面性和多体相互作用共同导致的(反对方Perk教授也是赞同存在这些困难的,这一点上没有异议)。如何精确求解三维伊辛模型,也就是如何解决上面的三大困难,困扰了国际学术界近一百年。现在,我们的工作的出发点是两个猜想。也可以说,两个猜想的提出,为进一步解决这个世界难题指明了前进的方向。根据两个猜想推导出的精确解是指路明灯。如何证明两个猜想,是在提出猜想后的新的目标和任务,

由于大呆下周外出度假,暂停更新博文,到812日(周一)再发表新的博文。敬请大家关注下一回:终结猜想-17-两大原则。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12

    https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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