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终结猜想-14-配分函数 精选

已有 2859 次阅读 2019-7-18 08:10 |个人分类:追梦|系统分类:科研笔记

 

有人说,人类一思考,上帝就发笑了。可以说,上帝(如果有的话)安排了大自然的这一切,也可以说,大自然就是上帝。在大自然面前,探索大自然奥秘的人就像走迷宫的孩童,四处碰壁,凭借持之以恒的努力和运气,才能到达胜利的出口。一个人如果事先拿到一张迷宫的路线图,就不需要经过那些曲折的探索过程,一帆风顺地实现目标。但是,这样的过程也就索然无味,没有能够体验到探索过程中的辛酸苦辣咸甜,也就失去了科学探索的乐趣。在探索之旅中,确实能够体验到在平凡的生活中无法体验到的复杂且精妙的情感,可以说是,迷惘与顿悟共存,失望与希望纠缠,坚持与放弃相争,痛苦与欢乐齐飞。只有经历了这些不平凡的探索过程,才能在胜利的一刻体会到一通百通的酣畅淋漓。

20142月我访问日本后,我又多次邀请铃木理教授访问沈阳,就三维伊辛模型开展合作研究。主要的精力集中在利用黎曼-希尔伯特问题通过拓扑学的方法证明猜想,遗憾的是论文在一个拓扑学国际学术刊物审稿一年被拒稿,目前还没有发表出来。另外一方面,我们主要针对克利福德代数方法开展工作,试图发展出一种矩阵的特殊算法解决非线性问题。当然,在最后发表的论文中放弃了这个方案。这两篇论文的工作是同步进行的,黎曼-希尔伯特问题的那篇论文中定义了克利福德-纽结代数,相关工作促进了我对克利福德代数和伊辛模型关系的理解,这也是我把发表出来的那篇论文的题目写成《三维伊辛模型的克利福德代数方法》的原因。由于黎曼-希尔伯特问题相关的那篇论文还没有发表,所以《终结猜想》系列博文将不涉及相关内容。后面的几篇博文主要介绍《三维伊辛模型的克利福德代数方法》论文的内容。

人们对大自然的认识的过程肯定是从简单到复杂,理解的物理机制也肯定是从表面到深入。我们首先要理解单一物体的运动规律。等掌握了单一物体的运动规律,人们自然要研究两个物体的运动规律,这里自然要涉及两个物体之间的相互作用。经过探索,人们发现可以精确地求解两个物体构成的一个体系的运动规律。不幸的是,这种好运气无法向包含更多物体的体系推广。我们知道,无法对一个经典的三体体系的运动规律进行精确求解,通常需要做一些数值上的近似。对于我们通常需要研究的物理体系,往往包含了大量的物体,例如,一个固体材料中包含了许许多多的原子,一个装气体的瓶子中也含有许许多多的气体分子,一个磁铁中具有许许多多的自旋磁矩,。。。为了处理这些复杂的多体系统的运动规律,物理学家们想到一个办法:统计。统计物理不要求仔细探究多物体系统中每个物体的具体的运动规律以及其中的相互作用的细节,只关注系统整体的性质,即多物体系统的宏观的物理性质,如内能、自由能、比热、磁化强度和磁化率等热力学性质。

在统计物理中有一套标准的程序,从系统的哈密顿量H出发,写出其配分函数。配分函数就是对系统的所有可能不同状态根据哈密顿量H写下波尔兹曼权重的指数函数exp(-H/kBT),并对所有的可能状态的值求和。一个状态在温度T下出现的可能性正比于该状态的指数函数exp(-H/kBT) 除以配分函数。其中需要对写下所有可能状态的波尔兹曼权重的矩阵对角化求能量本征值。对大型复杂矩阵的对角化是一个难点。然后事情就变得非常简单,根据热力学统计物理的标准手续从配分函数就立即得到系统的自由能,对自由能进行微分立即得到磁化强度、比热、磁化率等物理性质。所以,问题的关键在于求出系统的配分函数。而写出系统的所有可能不同状态又成为一个难点。需要指出的,对于经典统计物理体系,我们应该用玻尔兹曼统计,对于量子体系的费米子和玻色子,我们应该分别使用费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计。对于伊辛模型,其中的自旋是作为一个经典物体处理的,所以应用的是玻尔兹曼统计。

    这一回出场的人物是

路德维希·玻尔兹曼(Ludwig Edward Boltzmann1844220—190695日),奥地利物理学家、哲学家,热力学和统计物理学的奠基人之一。他最伟大的功绩是发展了通过原子的原子量、电荷量、结构等性质来解释和预测物质的粘性、热传导、扩散物理性质的统计力学,并且从统计意义对热力学第二定律进行了阐释。玻尔兹曼分布律、玻尔兹曼输运方程、玻尔兹曼熵公式等名垂青史的工作是统计力学的基础他从非平衡态的分子动力学出发而引进了分子分布的H函数,从而得到H定理,这是经典分子动力论的基础。从此,宏观的不可逆性、熵S及热力学第二定律就得以用微观几率态数W来说明其统计意义了,特别是他引进玻耳兹曼常量kB而得出S=lnW的关系式。1906玻尔兹曼自杀身亡,被葬在维也纳中央公墓,墓上刻着他的著名公式S=lnW

一个科学家能够做出原创性的成果,肯定有一些与众不同的品质,这些品质在许多伟大科学家身上都会表现出来。例如:丰富的想象力,严密的逻辑推理,敏锐的物理直觉,深刻的洞察力,对事物本质的认识能力,对物理体系的整体性的把握能力,总结和归纳的能力,将复杂问题简化以及将简单问题复杂化的能力。。。当然,一个优秀的科学家还需要具备过人的胆识,坚忍不拔的毅力,超出常人的意志力。特别是,如果要看到自己的工作能够被同行广泛认可,还需要具备超强的抗压能力和抗打击能力。因为能够做出一个原创性的工作是一回事,这个工作能不能被同行接受是另外一回事。可以说,做原创性的工作难,原创性的工作被同行接受更难。一个原创性工作的诞生,迎接它的往往不是同行的欢呼,而是打压。玻尔兹曼就是不堪忍受同行的打压而自杀身亡的。大呆提出两个猜想,也遭到同行的一派打压。统计物理界的几大高手联手围剿,甚至用“走火入魔”、“学术道德有问题”等进行莫须有式的攻击(详细见科学新闻》的报道三维伊辛模型:激辩之后的猜想)。孟子曰:天降大任于斯人也,必先苦其心志,劳其筋骨,饿其体肤。无论是在猜想的提出和证明过程,还是在论文的发表过程以及与同行的辩论过程,大呆都经受了不同寻常的考验。大呆其他方面的能力不好自我评价,大呆的抗击打能力是超一流的,耐受困难折磨的能力是超一流的。无论反对我的是谁,也不管他是哪个所谓的权威(甚至是N奖级别或者准N奖级别的大牛),只要他没有站到理上,我就不惧。大呆天生就有这一股子天不怕地不怕的劲头,从小又受到大无畏的革命精神的熏陶。我能够坚持下去,当然需要有自信,相信自己的直觉和判断力,对自己获得的研究结果有信心。不迷信和盲从权威,甚至敢于挑战权威。中国人有一句话:“光脚的不怕穿鞋的。”我能够坚持下去的另外一个原因是,我的主业是材料,不在反对方的圈子里混饭吃。当然,更为重要的一条,我得到了一些同行的大力支持,可以说是无私的支持和鼓励,增强了我必胜的信心。科学网广大博友和网友的支持和鼓励也是我继续前进的动力之一。

不迷信权威的思想,不仅仅是在论文发表之后的表现,而是在研究工作的开始阶段就要树立这样的思想。如何看文献?在对待文献的态度上,是采取批判式的阅读,以审视者的角度看待文献,不盲目相信权威,所有的论文中的结果都要先过一下自己的大脑,判断一下正确性后才决定是否接受。实际上,在求解三维伊辛模型精确解时,在初始的探索阶段(在1991-2003年这十多年的时间里),我一直没有查阅相关的文献,一直仅仅是看一本书《量子统计物理学》。就是担心,被文献中的思路误导,或者受到权威的条条框框的限制。因为我相信,既然前人几十年都没有能够解决三维伊辛模型精确解的问题,肯定是走错了路。我肯定要走一条与别人完全不同的道路,需要完全彻底的原创性思维。这样前人的失败经验对我来讲没有多大的参考价值。看了他们的文章可能会起到负面的影响,反而会干扰我的思路。原创性思维要从源头思考,从一片空白开始画最美的图画。

当然,我们避免不了要看文献。进入检索文献阶段时,我们不要迷失在文献的汪洋大海之中,要从文献中筛选、过滤,获得对自己有用的信息。大浪淘沙、去伪存真、去粗存精。在做猜想的工作时候(2003年发现黄金解之后),我每天都在检索、阅读大量的文献,用Web of ScienceGoogle,然后在阅读文献时,先快速浏览,进行粗筛,然后进行细筛,再仔细研读筛选下来的文献,从中挑选出反映所研究体系本质的信息。除了带批判性的眼光看待文献中前人的研究结果,还有一个评价标准就是,这个信息对猜想有没有用,能不能联系上。没有关系的文献直接pass。这样,每天的阅读量非常大,速度惊人。通常能够达到一天几十篇论文的阅读量。当然,从一偏100页的论文中迅速地挑选出一句重要的话,这个能力与个人前期受到的物理和数学基础知识的训练,个人对物理本质的认识,物理直觉和判断力有关,甚至与曾经大量阅读文学小说修炼出一目十行的本领有关,这些本领的修炼就要看个人的造化了。

       一个科学家要有透过现象看本质的能力。对于三维伊辛模型,最关键的是抓住配分函数的本质。我从一开始思考这个问题就清楚这一点,配分函数的表达式以及后续的求解过程必须反映三维空间的特点。由于没有从文献中查到三维伊辛模型的配分函数以及转移矩阵的表达式,我就照猫画虎地从二维伊辛模型的表达式推广到三维伊辛模型。我很清楚,在三维伊辛模型中一定存在拓扑学问题。当然,我一直以为是由于边界因子的复杂性导致了拓扑学问题,实际情况比我想象的更复杂,三维伊辛模型除了增加了许多边界因子以外,在每个格点上还存在内因子。但是,没有考虑内因子这个技术性的错误并没有影响我的结果的准确性,因为我的求解过程是建立在两个猜想的基础上的。而两个猜想针对的是三维伊辛模型体系中存在的拓扑学问题。至于这个拓扑学问题是由于边界因子还是由于内因子,并不影响最后的结果。由于我紧紧抓住了三维伊辛模型中存在非平庸的拓扑学问题这个关键点,存在的小的技术性错误并不影响大局,我的猜想对体系的本质而言仍然是正确的。

大呆证明两个猜想的论文发表在国际数学领域的专业性学术刊物《应用克利福德代数研究进展》上,论文题目《三维伊辛模型的克利福德代数方法》。那么,什么是克利福德代数?克利福德代数与三维伊辛模型有什么关联?请大家继续关注下一回:终结猜想-15-克利福德代数。将介绍三维伊辛模型的配分函数中存在的克利福德代数。

参考文献(三维伊辛模型精确解研究三部曲):

  1. 提出两个猜想:Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

  2. 初探数学结构:Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

    https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

  3. 证明四个定理:Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2

 



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