这一回我来介绍克利福德代数（Clifford algebra）。在数学上，克利福德代数是一类结合代数。作为K-代数，它们产生实数、复数、四元数和几种其他的超复数体系。克利福德代数理论与二次型和正交变换理论密切相关。克利福德代数又称几何代数（Geometric algebra），综合了内积和外积两种运算，是复数代数、四元数代数和外代数的推广。克利福德代数在许多领域，包括几何、理论物理、数字图像分析等，有极其重要的应用。。

最著名的克利福德代数，或者叫正交克利福德代数，也称为黎曼克利福德代数。一个克利福德代数是一个包含作用在一个域K上面的向量空间V并且由之产生的幺正结合代数，这里向量空间V由一个二次型Q决定。克利福德代数Cℓ(V, Q)是由向量空间V 产生的“最自由”的代数。克利福德代数的定义比“裸的”K代数具有更为复杂的结构。特别是，它具有一个指定的或者说特定的子空间与向量空间V同构。这样的子空间不能够由与克利福德代数同构的K代数唯一确定。

克利福德代数以英国几何学家克利福德的名字命名。这一回出场的人物是： William Kingdon Clifford, (1845年5月4日- 1879年3月3日), 威廉·金顿·克利福德是英国哲学家和数学家，受到黎曼和罗巴切夫斯基的非欧几里得几何的影响，于1876年写下《论物质的空间理论》，他提出物质和能量就是不同形式的空间曲率的思想，所以预示了爱因斯坦的相对论的几何理论。克利福德发展了双四元数理论，是对爱尔兰数学家哈密顿的四元数理论的推广（见 终结猜想-3-四元数代数）。然后将它们与更普遍的结合代数相联系。他使用双四元数理论研究在非欧几里得空间以及包含封闭欧几里得流形（表面）的运动，现在称为“克利福德-克莱因空间”。他的工作显示，具有固定曲率的空间可以有几个不同的拓扑结构。克利福德代数的主要贡献者还有：Hamilton（四元数），Grassmann（外代数），Hestenes等等。

克利福德代数与外代数密切相关。事实上，如果Q = 0， 克利福德代数Cℓ(V, Q)就是外代数Λ(V)。外代数亦称格拉斯曼(Grassmann)代数。对于非零的Q，在Λ(V)和Cℓ(V, Q)之间存在一个正则线性同构，无论它的基域K是不是具有示性数2，作为向量空间它们是自然同构的。可以把克利福德代数看成外代数的量子化（量子群）。这与外尔代数是对称代数的量子化类似。外尔代数和克利福德代数共同具有*代数的数学结构，可以被统一成一个超代数的偶数项和奇数项。

克利福德代数的例子有：实数克利福德代数、复数克利福德代数、四元数和双四元数等。

最重要的克利福德代数是那些在实数和复数向量空间具有非简并二次型。实数克利福德代数的几何解释是几何代数。对于复数向量空间的实数克利福德代数，复数向量空间的每个非简并的二次型等价于标准的对角化项。

克利福德代数的结构：我们假定向量空间V是有限维度的以及双线性项Q是非奇异性的。一个在K上中心单代数是一个在具有中心K（有限维度）商代数上的矩阵代数。例如，在实数域;上的中心单代数是实数或者四元数域上的矩阵代数。取决于V的维度的奇偶性质，克利福德代数Cℓ(V, Q) 是K上的一个中心单代数，也可以是K上的平方延伸的中心单代数或者K上的两个同构的中心单代数之和。克利福德代数的结构可以用下面的结果严格地表述：假定U 具有偶数维度，以及一个具有判别式d的非奇异性双线性形式，假定V 是另外一个具有二次型的向量空间。U+V 的克利福德代数与U 和(−1)^dim(U)/2dV的克利福德代数的张量乘积，后者是由具有二次型的空间V 乘以 (−1)^dim(U)/2d。

克利福德代数与自旋子（旋量）的关系如下：具有p+q=2n偶数的克利福德代数的Cℓ_p,q(C)是具有2ⁿ维度复数表示的矩阵代数。通过限定于Pin_p,q(R) 群，我们得到一个相同维度Pin群的复数表示，为自旋表示。如果将之限制为自旋群Spin_p,q(R)，然后它劈裂成两个维度为2ⁿ⁻¹半自旋表示（或者外尔（Weyl）表示）。当p+q=2n+1为奇数，克利福德代数Cℓ_p,q(C) 是两个矩阵之和，每个具有维度为2ⁿ的表示，它们都是Pin群Pin_p,q(R)的表示。限制到自旋群Spin_p,q(R)时，它们变成同构，所以自旋群有一个维度2ⁿ的复数自旋子表示。更普遍性的情况，在任何域上的自旋子群和pin群具有相似的表示，其结构精确地依赖于对应的克利福德代数的结构: 当一个克利福德代数有一个因子，它是在一些商代数上的矩阵代数。我们得到在商代数上的一个对应的pin群和自旋群的表示。为了描述实数自旋表示，我们必须知道自旋群如何在克利福德代数之中存在的。Pin群Pin_p,q 是克利福德代数Cℓ_{p, q}可逆元素的集合，它可以被写成单位矢量的乘积。

克利福德代数应用于许多领域，如微分几何、物理学等。外代数的一个基本的应用是在微分几何中定义一个光滑流形上的微分形式的丛。在一个（伪）黎曼流形情况下，切空间具有一个由度规引起的自然的二次型。所以，与外丛类似我们可以定义一个克利福德丛。它在黎曼几何，特别是应用在自旋流形和自旋子丛。在物理上，克利福德代数应用于由狄拉克度规定义的一个基的代数。可以用克利福德代数Cℓ_1,3(R)或者4 × 4 复数矩阵Cℓ₄(C) ≈ M₄(C)来表示狄拉克矩阵。当然，为了能够描述时空中的洛伦兹变换，用Cℓ_1,3(R)的形式方便些。所以，在物理学中时空的克利福德代数的结构比Cℓ₄(C)复杂，它具有附加一个特殊喜好的变换，洛伦兹变换。无论复数化应用方面以及从方便性考虑是否必要，在量子力学方面隐含在克利福德代数内部的李代数so(1, 3)的自旋表象通常要求一个复数化的克利福德代数。自旋李代数表示成(3, 1)时空形式，与克利福德代数Cℓ_3,1(R)_C相吻合。Paul Dirac首先写下狄拉克矩阵，为了建立电子的相对论一次波动方程以及表示复数矩阵与克利福德代数同构。其结果可以用来定义狄拉克方程和狄拉克算符。克利福德代数在量子场论和双线性狄拉克场中出现。克利福德代数在计算机领域也有广泛的应用，例如克利福德傅里叶变换研究向量化数据。

         克利福德代数与三维伊辛模型怎么建立上关系的？

求解伊辛模型的精确解，首先要写出伊辛模型的配分函数。从模型的哈密顿量出发写出不同自旋组态时的能量数值，取e指数构成体系的转移矩阵。利用一次周期性边界条件，可以将一维伊辛模型的转移矩阵简化为2x2的矩阵，但是二维伊辛模型的转移矩阵可以简化为两个2^Nx2^N的矩阵。体系的转移矩阵非常复杂，研究发现它们可以被写成许多2x2泡利矩阵的直乘的形式。泡利矩阵的直乘就构成了一个克利福德代数。昂萨格在求解二维伊辛模型的精确解时就已经利用了克利福德代数的性质。尽管三维伊辛模型远远比二维伊辛模型复杂，其中的克利福德代数的结构是大同小异的。在二维和三维伊辛模型中的G矩阵的表达式就是克利福德代数的表达式。不同的是，在二维伊辛模型的转移矩阵中仅仅存在两个G矩阵相乘的线性项，而在三维伊辛模型的转移矩阵中存在多个G矩阵相乘的非线性项，这也是三维伊辛模型精确求解的困难的根源，由于我们求解的三维伊辛模型的转移矩阵具有克利福德代数的数学结构，我们的求解方法顺理成章地被称为克利福德代数方法。

泡利矩阵可以写成如下的形式：

 (= is₂),  (= s₃),  (= s₁), a

上面的标记是昂萨格和Kaufman求解二维伊辛模型以及我们求解三维伊辛模型的论文中的记号。通常大家用s_1、s_2、s₃来标记三个泡利矩阵。将三个泡利矩阵以及单位矩阵进行矩阵直乘，并且进行组合，可以获得下面的两个G矩阵：

   (其中有j 项)

  (其中有j 项)

这两个G矩阵是克利福德代数的构成元素之二，也正是三维伊辛模型中转移矩阵的基本单元，所以，三维伊辛模型的数学结构与克利福德代数密切相关，这也是我们证明猜想的论文题目叫做《三维伊辛模型的克利福德代数方法》的原因。

我们从小就学习代数，在上大学之前基本上学习的是初等代数，加减乘除四则运算，求解一元、二元方程以及方程组等，在大学里学习高等代数，主要内容微积分、线性代数、常微分方程以及偏微分方程等，作为非数学专业的本科生也仅此而已。在求解三维伊辛模型的精确解的过程中，大呆自学代数方面的知识，发现有许许多多的代数，大都是以数学家的名字命名的。刚开始接触到这么多的代数，还真有点懵。后来理解到，只要你按照一定的代数法则构建一个封闭集合就可以建立一种代数。在三维伊辛模型的数学结构中，我们发现有李代数、四元数代数和约当代数，这一回我们介绍了克利福德代数，可见克利福德代数与四元数代数和约当代数有非常紧密的联系，它们的一些数学性质是相通的。克利福德代数博大精深，与数学和物理的许多领域有联系。克利福德代数广泛应用于广义相对论、量子力学、量子场论、射影几何、微分几何、共形几何等。专门有一个专业性学术刊物《应用克利福德代数研究进展》可见一斑。大呆证明猜想的论文就发表在这个刊物上。当然，大呆对克利福德代数的了解仅限于应用相关的知识求解三维伊辛模型，基本上算是刚刚入门级。但是，三维伊辛模型是一个非常重要的物理体系，求解其精确解对理解其他物理体系具有重要的指导价值，特别是对理解多体相互作用、时空的本质意义重大，而克利福德代数在其中起到的关键性作用必将引发研究克利福德代数的热潮。

经过前面十五篇博文的铺垫，我们将迎来《终结猜想》的高潮部分，开始介绍证明猜想的论文的主要内容。下一回我们将介绍求解三维伊辛模型面临的三大困难，还将公开一个与三维伊辛模型相关的内幕，《终结猜想》系列博文一次真正的爆料。请大家继续关注。

参考文献（三维伊辛模型精确解研究三部曲）：

1. 提出两个猜想：Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. https://doi.org/10.1080/14786430701646325

2. 初探数学结构：Chinese Physics B 22 (2013) 030513.

   https://doi.org/10.1088/1674-1056/22/3/030513

3. 证明四个定理：Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12。https://doi.org/10.1007/s00006-018-0923-2