今天给学生考试，其中一道题目是：叙述压缩映像原理，并举例说明该定理中，“空间的完备性”和“映射的压缩性”缺一不可。

定理大家都会叙述，但举出的例子五花八门，或过于复杂，或不准确。其实，最简单的例子如下：

例1. （映射的压缩性不可去）在度量空间  上定义映射为

                                     .

则空间显然完备，但该映射没有不动点。

例2. （空间的完备性不可去）令，在普通的实数距离下， 是不完备的度量空间。定义映射为

                               .

则  是压缩影射，但没有不动点。

无论举例或证明，应该是越简单越好，没必要搞得太复杂。