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今天给学生考试,其中一道题目是:叙述压缩映像原理,并举例说明该定理中,“空间的完备性”和“映射的压缩性”缺一不可。
定理大家都会叙述,但举出的例子五花八门,或过于复杂,或不准确。其实,最简单的例子如下:
例1. (映射的压缩性不可去)在度量空间 上定义映射
为
.
则空间显然完备,但该映射没有不动点。
例2. (空间的完备性不可去)令,在普通的实数距离下,
是不完备的度量空间。定义映射
为
.
则 是压缩影射,但没有不动点。
无论举例或证明,应该是越简单越好,没必要搞得太复杂。
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GMT+8, 2024-8-17 19:07
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