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一个有趣的反问题:从Borland-Dennis伟大的发现谈起 精选

已有 9656 次阅读 2014-8-8 06:28 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

最近这段时间关注巴以问题比较多,没怎么关心物理。

但是今天再次看到borland这个名字,决定写点有关他的东西,以完成很久以来的一个心愿。

这是一个非常深刻非常有趣非常困难的反问题。

我刚开始在物理所做研究生的时候,在图书馆看到过一本书,名字叫reduced density matrices: Coulson‘s challenge。里面讨论的是这样一个问题。学过量子力学的人都知道密度矩阵,这个非常本质的概念是landau提出来的,曾经被landau学生列举为landau十个贡献之一(所谓landau十诫)。对于一个包含有多个子系统的系统而言,我们除了可以定义和讨论整个系统的密度矩阵之外,还可以定义和讨论单个子系统的密度矩阵,也就是所谓的约化密度矩阵。定义约化密度矩阵的动机是,如果我们只关系子系统的物理量的话,我们并不需要知道整个系统的密度矩阵。那包含了过多的冗余信息,子系统的约化密度矩阵对我们的目的而言足够了。

约化密度矩阵的一个最常见的应用是对全同粒子系统,比如一个原子里的若干电子构成的系统。对里面的单个电子,我们可以定义单粒子约化密度矩阵;对里面的任何一对电子,我们可以定义双粒子约化密度矩阵。这里有个非常基本非常重要的事实是,如果我们只想计算系统的能量(比如基态能量)的话,我们其实并不需要完整的N粒子波函数,我们只需要知道系统的双粒子约化密度矩阵就够了,因为系统的哈密顿量里最多就是两体相互作用(库仑排斥)。

这意味着什么?

这意味着我们完全没必要花费力气去计算完整的N粒子波函数(如hartree fock近似的做法),我们完全可以对两粒子约化密度矩阵做变分法!其中对两粒子约化密度矩阵,我们只需要加上三个很trivial的约束,一个是厄米,一个是正定,一个是归一化。这三个条件都非常容易满足!所以,这样看来所谓的强关联电子气(比如著名的hubbard model)其实都可以非常简单地处理!

这个想法难以置信地简单!

这就是加拿大物理学家coleman在1951年某天的灵感。coleman当时肯定非常激动,至少当年的我在看到那本书的时候非常激动。coleman马上动手了。他测试的对象是三电子的li原子。很快,他有了结果。结果比想法更加难以置信:他获得了比确信无误的基态能量低30%的变分能量!这直接违背了变分法基本原理:变分能量以基态能量为下界!

coleman很快就意识哪里出了问题。问题肯定是因为他的变分约束太松了!前面三个条件是必要,而非充分!也就是说,不是每一个厄米正定归一的两体约化密度矩阵都可以由一个N电子波函数实现!于是,coleman提出了一个非常有意义的问题:什么样的约化密度矩阵可以被一个N电子波函数实现?显然,问题既依赖于约化密度矩阵的粒子数,也依赖于总电子数,甚至还依赖于单电子的希尔伯特空间的维数。

coleman肯定非常非常喜欢这个问题(至少我在第一眼就喜欢上这个问题)。他研究了这个问题很多年,在1963年把他十年的结果总结在一个RMP里面。老实讲,coleman的结果都不是太深刻。不过,他的文章让这个问题在圈子里广为人知。在学界,这个问题被coleman命名为 N-representability problem。

coleman的结果不是那么有趣。这个问题上第一个非平庸的结果属于Borland和Dennis在1972年的发现。他们的发现是基于计算机实验的(在今天用计算做实验以验证或发现某种规律,是实验数学的想法;有本专门的杂志就叫实验数学)。在1972年的时候,计算机软硬件都非常落后,Borland当时在英国工作,他是亲自写对角化一个厄米矩阵程序的人!今天有谁还自己亲自写对角化一个矩阵的程序?在matlab里面就是一个eig而已。

他们考虑的情况是这个问题里的非平庸情况中最简单的,也就是有三个费米子,放在6个轨道上面。注意到,这里一开始就是3个费米子,而不是2个,因为2个是平庸的情况。这里面有个非常漂亮非常深刻的数学定理,其实应该为每一个学量子力学的人所了解(可惜,我还没见过我周围的人有谁了解之,这个以后再谈)。按照这个定理,2费米子的波函数的结构是完全清楚的。而且,一开始就是6个轨道,而不是5个或者4个。这背后也是因为那个漂亮的数学定理。当初coleman一开始就选择li原子来测试他的想法,其实也是因为这个定理。

很容易计算,系统的hilbert空间的维数是20. 他们随机地生成波函数,然后计算其单粒子约化密度矩阵,然后对角化之,获得其本征值。因为是6个轨道,所以是6个本征值。把它们从大到小排列为 x1, x2, x3, x4, x5, x6. 他们发现了非常简单的规律:

第一,本征值对称排列。x1 + x6 = x2 + x5 = x3 + x4 = 1.

第二,存在不等式,  x4 > x5 + x6.

伟大的发现!竟然有如此简单的等式和不等式!

基于某些假设(为他们的数值实验所支持),borland和dennis证明了这两个条件为充分必要条件。这是在N-representability问题上的第一个非平庸的结果。

知名数学物理学家Ruskai曾经在2007年声称证明了他们的假设。可惜,她的证明是错误的。我们倒是有个完整的证明。

N-representability问题是如此困难,以至于在borland-dennis发现之后30年,这个问题上再无任何进展。在90年代,美国化学会干脆把这个问题列为量子化学十个最基本问题之一。转机出现在2006年,一个在土耳其ankara工作的俄罗斯人解决了单粒子约化密度矩阵的representability问题。有趣的是,他证明,borland-dennis的发现具有一般性。也就是,所有的约束都是类似上面的线性等式或者线性不等式。可惜,他的工作用到的数学涉及到很多置换群群表示理论,代数几何等,我没有试图去读过他的文章。

不同的人有不同的品味。我喜欢N-representability这样的问题。类似歌德巴赫猜想,问题是如此简单清晰,任何人都明白问题所在,但是极少有人能够做出贡献。Borland-dennis的文章迄今也就被引用23次,那个俄罗斯人的文章引用估计也高不到哪里去。从coleman到那个俄罗斯人,60多年时间里,在这个问题上有贡献的文章也就二三篇。对比之下,石墨出现后,一年就可以被引用上万次。不同问题的档次差异很明显。


informal_talk_zjm.pdf



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