图1. 共形脑图。

【这几天在中国科技大参加第七届全国计算机数学年会，有幸见到了许多数学界的前辈，诸多朋友和大量新生力量，学习到许多精妙深刻的新近数学成果，景仰敬佩，心潮澎湃。对于广大朋友的热情鼓励和提携，致以最为诚挚的谢意！】

在脑神经科学中，建立大脑皮层曲面间的映射，分析比较大脑皮层几何结构和特征具有根本的重要性。在诊断奥兹海默症，儿童自闭症方面，需要判断大脑几何结构的微妙差别和变化，在放射治疗和脑神经外科手术导航方面，需要在大脑皮层上面精确定位。这些都需要共形脑图技术。共形脑图就是将大脑皮层曲面映射到单位球面上，这一映射是保角的微分同胚。

共形脑图的数学基础是拓扑球面间的调和映射，其计算是基于非线性热流方法，其解并不唯一，彼此相差一个6维的莫比乌斯变换群。拓扑球面间的调和映射必为保角映射，而一般高亏格的曲面调和映射不一定是保角变换，这一点可以由拓扑障碍来解释，本质上可归结为指标定理。

历史回顾与应用

大概在2002至2003年间，丘成桐先生和老顾方明了基于非线性热流的拓扑球面调和映射算法。虽然我们很快就将这一算法应用于曲面参数化，并发表在SIGGRAPH上面，但是我们一直无法找到这一算法在实践中的关键应用，直至香港科技大学校长陈繁昌教授来哈佛访问丘先生。陈教授告诉我们那时由于核磁共振技术的成熟，脑神经科学的研究日益蓬勃发展。当时整个研究领域最为关注的问题之一是如何建立大脑皮层曲面之间的微分同胚。通过陈教授，我们和UCLA的神经影像实验室（LONI）建立了长期合作。在合作中，我们应用共形几何方法，详尽地研究了大脑的形态测量学（brain morphometry）。

图2. 大脑皮层的功能区域。

虽然大脑皮层曲面的几何结构总体相似，但是具体细节千差万别，因人而异。事实上，通过一个人的大脑几何特征，我们可以进行身份识别，“脑纹”的识别率和可靠度应该远远优于“指纹”。人的大脑具有高度的可塑性，宛若计算机中的内存，不同的应用程序可以动态占据不同的份额。各种技能相应的中枢区域在大脑皮层中占据的面积也是动态变化的。例如经常练习演奏钢琴，控制手指的中枢区域会扩大；经常踢足球，控制脚的中枢区域会扩大。如图2所示，大脑皮层解剖结构的区域被显示出来。通过计算各个功能区域间的相对几何关系，我们能够判断主体的心智特点和潜在神经疾病。再如，大脑将信息收集整理，加以记忆，犹如庞大的数据库；但是奇妙的是大脑数据库的索引信息存储在海马体中。大多数失忆症病人并非是记忆的载体失常，而是记忆的索引失常，通常海马体多会发生显著变形。通过将海马体进行几何特征分析和归类，我们可以诊断和记忆相关的疾病。

人类视网膜和大脑的第一级视觉中枢由神经簇直接连接。从几何上讲，视网膜曲面和第一级视觉中枢曲面之间存在一个映射。令人惊异的是，这个映射是保角的（或等价的，共形的）。因此，这一映射保持了局部形状。看来共形映射并非是数学家凭空想象的产物，她在大自然中早就存在了，并且和人类息息相关。那么，这个共形映射是普适的还是因人而异？这一映射是先天遗传的还是后天习得的？这些问题依然在探索之中。

近期，我们用几何方法证实人的大脑皮层的几何与其智商有很高的相关性，这在某种程度上意味着我们可以通过一个人大脑形状来判断他或她的智商。目前，我们在验证人的大脑皮层的几何与其情商之间的相关性。同时，人们正在研究后天学习是否能够显著改变大脑皮层的几何。

目前，有关人的大脑研究如火如荼，方兴未艾。在这类研究中，拓扑球面的调和映射成为不可或缺的计算工具。

图3. 拓扑球面间的调和映射。

调和映射

图3显示了亏格为0的封闭曲面到单位球面间的调和映射。我们将源曲面想象成橡皮膜制成的曲面，目标曲面由表面抛光的大理石制成。我们将橡皮膜罩在大理石上，橡皮膜在抛光的大理石表面上自由无摩擦地滑动，当系统到达稳衡状态，橡皮膜的弹性形变势能达到最小，所得映射即为调和映射。这一物理图景启发我们设计拓扑球面调和映射的计算方法。

外蕴方法  我们将目标曲面单位球面嵌在三维欧式空间中，这样曲面间的映射可以被表示成从源曲面到三维欧式空间的映射，并且像集被限制在单位球面上，

进一步，这一映射由三个坐标函数来表示，

映射的拉普拉斯由坐标函数的拉普拉斯给出，

传统的热流方法将一个函数经过“热力学扩散”成一个调和函数，使得其调和能量随时间单调下降：

但是，在我们目前的情况下，映射的像被限制在单位球面上，因此每一点的像只能沿着单位球面的切方向移动，而无法沿着球面的法方向移动。因此，我们需要将传统的热流方法修改成非线性热流：

这里等式右侧是映射拉普拉斯的切向分量，

这样我们可以保证对任意时间和任意点，映射像一直在单位球面上，

由此可见，所谓的“非线性”是指在每一点，每一步我们都需要向切空间投影，因此能量泛函的欧拉-拉格朗日方程不是线性偏微分方程，其离散化的近似不是线性方程组：

非线性热流方法可以确保映射的调和能量单调递降，但是由于调和映射不唯一，计算并不稳定，我们需要添加更多的条件来确保解的唯一性。事实上，如果存在两个映射都是调和映射，则它们彼此相差一个球面到自身的共形变换。首先，我们用球极投影将球面映到扩展复平面上，

图4. 球极投影。

如图4所示，我们在单位球的北极放置一盏灯，从北极发射的光线将球面上所有点映到过南极的切平面上，同时将北极点映成无穷远点。直接计算表明，球极投影是共形映射。扩展复平面到自身的所有共形变换构成所谓的莫比乌斯变换群，每一个自映射都具有如下形式：

如果存在两个调和映射，则它们相差一个莫比乌斯变换：

为了去掉莫比乌斯变换群带来的歧义性，我们添加一些归一化条件，例如我们要求映射满足

这个限制去掉了3个自由度，余下的莫比乌斯变换是单位球面到自身的旋转。非线性热流方法是稳定的，不会诱发旋转，因此这一归一化条件足够确保调和映射解的唯一性。

非线性热流方法将一个初始映射“扩散”成一个调和映射，那么我们如何选取初始映射？理论上，任何一个映射度为1的映射都可以，例如最为常见的高斯映射。但在实践中，光滑曲面被离散的多面体网格所逼近，优化过程有可能落入局部最优的陷阱。一种有效的避免局部最优陷阱的方法如下：我们将源曲面一分为二，将每一半用拓扑圆盘的调和映射映到单位圆盘，并且边界映射相互一致。然后我们用球极投影将两个单位圆盘映到上半球面和下半球面，如此得到曲面到单位球面的初始映射。然后，我们再用非线性热流方法将初始映射进一步扩散。

内蕴法 内蕴方法只需要曲面的黎曼度量，不需要曲面在欧式空间中的等距嵌入。外蕴法引导我们得到计算方法，内蕴法使我们能够洞察调和映射更为深刻的性质。假设曲面间的映射给定，我们取曲面的等温坐标：

我们记

映射的调和能量密度为

映射的调和能量为

由此，我们可以看到调和能量只和源曲面的共形结构有关，和具体的共形黎曼度量无关。

进一步，我们得到调和能量的欧拉-拉格朗日为

从而，内蕴的非线性热流方程为

图5. 调和映射

图6. 共形映射

调和映射和共形映射的关系

图5和图6显示了从人脸曲面到单位圆盘的调和映射和共形映射。两个映射非常接近，但是如果我们仔细考察，我们发现在调和映射中，平面上的小圆被拉回到曲面上成为小椭圆（偏心率接近0）；在共形映射中，平面上的小圆被拉回到曲面上成为小圆。

通常情况下，共形映射一定是调和的，调和映射不一定是共形的。在上图情形，当我们固定边界映射，优化调和能量，我们得到调和映射。如果，我们放开边界，令边界的像在单位圆上可以自由滑动，从而进一步减小调和能量，则我们得到共形映射。换言之，共形映射是所有调和映射中调和能量最小者。

但是，对于球面而言，拓扑球面间的调和映射一定是共形的。直观来说，拓扑球面间的映射可以在球面上自由滑动，从而使调和能量无障碍地达到最优，从而得到共形映射。下面，我们将这一直觉述诸严格的证明。我们定义曲面间映射所诱导的二次微分，霍普夫微分：

我们可以证明，如果霍普夫微分全纯，则映射必为调和；如果霍普夫微分为0，则映射必为共形。

曲面上所有的全纯二次微分构成一个群，根据黎曼-罗赫定理，亏格为g>1的曲面，这个群的维数为6g-6。黎曼-罗赫定理是指标定理的特殊形式，本质上是说流形上椭圆型偏微分方程解的空间维数被流形拓扑决定。

拓扑球面上所有的全纯二次微分必然为0。假如球面上存在一个全纯二次微分，那么它诱导一个带有奇异点的平直度量，奇异点对应着全纯二次微分的零点，因此奇异点处的曲率测度为-180度。根据高斯博内定理，总曲率等于球面的欧拉示性数乘以360度，从而奇异点的个数为0，全纯二次微分没有零点。我们能够取其平方根的一个分支，得到一个全纯1-形式。球面上的全纯1-形式的实部为调和1-形式。因为球面的一阶上同调群为0，所以调和1-形式必为0，进而全纯二次微分必为0。

因此，拓扑球面间的所有的调和映射，其霍普夫微分为全纯二次微分，必然为0。我们得到拓扑球面间的所有调和映射必为共形映射。

黎曼映射

利用拓扑球面间的调和映射，我们可以构造拓扑圆盘曲面间的共形映射，亦称是黎曼映射。假设源曲面是亏格为0的曲面，带有一条边界，边界足够光滑。我们取曲面的一个拷贝，将其定向取反，将两张曲面沿着边界上的对应点粘合，得到一张对称的拓扑球面。这一技术被称为是曲面的双重覆盖。我们用拓扑球面的调和映射将双重覆盖的曲面共形地映到单位球面上，然后复合一个莫比乌斯变换，使得原来曲面的边界被映成单位球面的赤道，再用球极投影将上半球面映成单位圆盘。由此，我们得到拓扑圆盘曲面的黎曼映射，如图5所示。

后面，我们将继续讨论高亏格曲面间的调和映射。

1. Xianfeng Gu, Yalin Wang, Tony F. Chan, Paul M. Thompson and Shing-Tung Yau. Genus Zero Surface Conformal Mapping and Its Application to Brain Surface Mapping. IEEE Transaction on Medical Imaging (TMI), 23(8):949-958, August 2004.

2. Craig Gotsman, Xianfeng Gu and Alla Sheffer. Fundamentals of Spherical Parameterization for 3D Meshes. ACM Transaction on Graphics (TOG), 22(3):358-363,2003.

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。