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清华笔记:计算共形几何讲义 (22)离散曲面曲率流 (Discrete Surface Ricci Flow)IV 精选

已有 2439 次阅读 2019-11-9 13:46 |系统分类:科研笔记

设计黎曼度量又是计算机图形学、计算机视觉、计算力学、医学图像等领域最为基本的问题之一。许多工程中的关键问题可以归结为设计一种特殊的黎曼度量。离散曲面Ricci流是通过曲率来设计黎曼度量的有力武器。迄今为止,这是唯一的一种方法,既有严密的理论基础,又有高效稳定的算法。

在前述章节中,我们证明了离散曲面曲率流解的存在性、唯一性,其对应熵能量的凸性及其几何解释。这一讲,我们来证明离散曲率流所得到的离散共形变换收敛到光滑Ricci flow的结果。因为离散曲率流方法完全独立于传统的有限元分析方法,因此其收敛性证明的方法也必然是迥异的。通过冗长而严密地推导,我们给出了精确的逼近结果。

收敛性定理陈述

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主要技术定理

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证明框架

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图1. 平面等边三角形。

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图2. 光滑曲面。

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图3. 离散化。

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图4. 逼近。

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图5. 补偿化。

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总结

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Reference

  • X. Gu, F. Luo and T. Wu, Convergence of Discrete Conformal Geometry and Computation of Uniformization Maps, Asian Journal of Mathematics, 2017.


原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年8月18日)



http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-1205468.html

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