水分循环有马尔科夫性质?  (3)—2元水分循环的模型（下）

张学文,2013.12. 19

1.      在2元水分循环的模型（上）中我们把提问题的角度转向概率语言，并且从地理学方面知道下垫面的水分占了地球水的绝大部分，余下的空中水仅占总水量的10万分之一。

2.      我们承认地球上的水分是循环的，即空中水可以变成下垫面的水，反之亦然。我们还承认水分在循环中是保持平衡的。所以水分的循环过程要求下垫面只能拿出很小的比率来转化为空中水（蒸发），而空中水则要掏出很大的比例来参加水分循环，才可以维持循环中的水分平衡，对吧！

3.      为此，显然需要在一个循环周期或者说“一个时间步长”中，下垫面的水的极小部分变成了空中水，而多数的水分维持原状态;而空中水则有很大的比例变成下垫面的水分，而留给自的比例很小。对于同时进行的这两个（蒸发、降水）过程，我们不妨使用转化率的概念描述它们，于是下垫面的水分转化为空中水的比率小，空中水转化为下垫面的水分的比率高。根据气象知识，空中水大约9-10天循环、更新一次。即大约10天几乎百分之百的空中水都变成下垫面的水分了，于是有下面关于水分循环的转化率表

表1 2元的水分状态转化比值的表（矩阵）

(从左侧状态开始转为各状态)

4.      上表第2行（左端）空中水的0.00001是它变成（保持）空中水的比率，0.99999是空中水变成下垫面的水分的比率，。而第3行的数据是下垫面水依次变成空中水以及变成（维持原状）下垫面的水分的比率。注意这个表的每行的转化比率的合计值是1，它表示这个水分状态的转化过程中水分是不丢失（水分平衡）也不产生。

5.      表1 是我们依据地理、气象中的水分知识而做一种概括，这里已经隐去了空中水，或者下垫面的水的数量的绝对值，而仅是分析其状态转化率。这使我们迈向了数学的随机过程分析。

6.      对于表1中的数据，我们既可以理解为是空中水，或者说下垫面水在一个时间单元（10天）中转变为各种状态者占有的比率，也可以理解为一个空中水状态的水分子，或者一个下垫面水状态的水分子转化为各种状态的概率。

7.      当我们承认这个表1 是符合地理学、气象学中的水分知识的事实时，我们无形中也默认了地球上的水分子在一步状态转化中的转移概率是与它现在的状态有关的：如果该水分子是指下垫面水的水分子，则下一步继续是下垫面水的概率非常高（即不转化为其他的状态），变成空中水的概率非常低…

8.      上面的话是什么含义？当我们回顾概率论中关于马尔科夫过程的知识时，不难看出，这正是马尔科夫过程的基本特点。下一个状态究竟是什么的概率仅与当前的状态有关，而与更早的状态无关。于是表1中的数据也就是离散的马尔科夫链的状态转移概率（条件概率）的矩阵。这个状态转化关系也可以用下面的所谓申农线图 1 表示

9.      所以上面借助水分子状态的简单的2元变化过程，空中水状态变成下垫面水状态，或者下垫面水状态变成空中水状态，把水分循环问题逐步转移为一个概率论中的马尔科夫过程了。引入这种分析思路还会有什么收获？这些在“水分循环有马尔科夫性质?！ (4)”中再展开分析。