李：不少难题是“顺者亡，逆者昌”。所以，当正向思维遇阻时，就应逆向思维；当原问题难以解决时，不妨求解逆问题；当考虑可能性行不通时，就该考虑不可能性；当直接求解难以奏效时，就应尝试间接求解，即正难则反，顺繁则逆，直穷则曲。很多时候要反过来想想，比如求证要“两边夹”：两边往中间推；假设命题不对——反证法。举个例子。大大小小的数学家们试图证明欧氏几何的平行公理，历时两千多年无功而返。罗巴切夫斯基另辟蹊径，用反证法，假设该公理不成立，试图由此推出矛盾。然而，事与愿违，他无法得到矛盾，几乎也要铩羽而归。这时反证法的妙处凸显而出：既然不矛盾，说明该公理并不一定成立。因此，可以有平行公理不成立的几何。结果他因祸得福，在乌有中创造了一个崭新的世界——罗氏非欧几何。面对一个涉及无穷的问题，往往考虑其逆命题——一个有限问题更有效。
   谜题的求解往往有赖于逆向思维。解谜题不能顺着解，从一开始就要倒着解，如果顺着容易解，就不是谜了。我就是教我的小孩这么解谜题的。一个难题不就是一个谜吗？如果很多人解不了，就应有意识地反其道而解之。这种理性认识对科研很有好处。所以，对于一个难题来说，

（A wise man begins in theend, a fool ends in the beginning.）比如玩走迷宫，从出口开始倒退往往比从入口开始前进容易得多。迷宫的设计假设人们是从入口开始的，所以正向前进时必定有很多死路，而由出口倒退路径往往是唯一的。当然，专门对付聪明人的迷宫可能会让由出口倒退的路径也有很多死胡同。要学着从终点出发。有人向大数学家雅克比取科研之经，他答了句名言：一贯反其道而行之。（You must always invert.）这是经验之谈。大数学家勒让德（Legendre）研究椭圆积分，毕四十年之功于一役，写成一本专著，但结果非常繁复。（注意，高度复杂的必错无疑！）他还自认为贡献堪与布里格斯(HenryBriggs)的对数表媲美。阿贝尔(NielsAbel)和雅克比初生牛犊不怕虎，一上手就另辟蹊径，逆着走，取得了椭圆函数的重大突破和丰硕成果。“始驾马者反之，车在马前。”（《礼记·学记》）勒让德的椭圆积分就像马推车，笨拙得很，而阿贝尔和雅克比将问题兜了个底朝天，他们的椭圆函数正像马拉车，方便多了。

教：大部分人都有思维定势，您是说要打破传统，逆着做。

李：对。非传统种类繁多，打破思维定势还有多种方式。比如转换思维角度，从尽可能多的方面或新视角看问题，这样更能看清关系、利弊，可能会茅塞顿开。要有一种理性的认识，另辟蹊径，反其道而行之。举个例子。我研究在任意有色噪声下的最优线性滤波，一般都是由批处理滤波推出递推滤波，这很自然，但十分繁难，因此卡了很长时间。有一天突然醒悟，此路不通，为什么不直接在所有递推滤波中求出最优的？结果问题迎刃而解，还得到了一些重要副产品——可递推性概念以及批处理滤波与递推滤波等价的充要条件。我想起一道试题，据说某个大公司招聘员工时用过。在一个雨夜，你这位未婚小伙子驾车驶过一个车站，见到三人在等车：一位是急症病人，急需去医院；一位是对你有过救命之恩的医生，你很想报答；一位是你心仪已久的姑娘，对你有好感，你很想结识，但苦无机会。末班车已去，而你的车只能搭载一人。你该载谁？

教：这就看你的道德水平了。我觉得该载病人。救人一命，胜造七级浮屠。

学：能不能开到附近，求其他人帮忙，或者和姑娘一块去拦截其他车？如果有其他人帮忙，我当然载姑娘咯。

李：为啥一定要你来载人？理想的答案是三全其美，关键是逆向思维，重起炉灶：让医生载病人去医院，你留下陪姑娘。如果你这么聪明而有创意，很可能会得到姑娘的芳心。

教：逆向思维，我感觉就是要与别人不同，从另外一个方向去看待问题，去解决它。

李：逆向思维可以说是另辟蹊径中常用的一种，但另辟蹊径、别出心裁不一定都是逆向思维。逆向思维在科研中的作用比在日常生活中大得多。为什么呢？我觉得主要是因为科研问题大都是执果探因，所以是反问题、逆问题。这也正是科研中反向推理往往比正向推理更有效的原因。执果探因往往比由因推果难得多，一般有无穷多解，而且解不连续依赖于输入，是所谓的“不适定”（ill-posed）问题，是当之无愧的难题、谜题。所以，逆向思维在此大有作为。求解科学问题与破案可有一比，都是一个反向难题，——破案是由犯罪结果探究犯罪动机、行为等。所以，逆向思维也是侦探破案的看家本领。柯南·道尔笔下的福尔摩斯在《A Study in Scarlet》（《血字的研究》）中说：在解决这类问题时，至关重要的是会反向推理。这个本领很有用，也很容易掌握，但人们对此缺乏训练。（In solving a problem of this sort, the grand thing is to be able toreason backward. That is a very useful accomplishment, and a very easy one, butpeople do not practice it much.）人们习惯于直接走向目的，也就是正向思维，而不是反向从目的地走回来。正向思维往往更易理解，反向思维多半更有成效。所以不少科研成果都是反向得到，正向叙述。这可能误导人们错认为正向思维比它实际上更强大而常用。注意，研究者发现问题和解决问题的路径方法，一般不同于他们表述这些发现和解法的路径方法。

学：面对一个具体问题，到底怎么逆向思维，还是不太清楚。

李：具体问题要具体处理，我们只能谈这种方法的思想，提醒在遇到难题时不要忘了这一套，不可能给一个一劳永逸的通用实现办法。关于思想，上面已经说了不少，再说一个故事。北宋有两个皇亲国戚分财产，都认为自己分得少，对方分得多，闹得满城风雨。皇帝派大臣张齐贤处理。张齐贤让他们把意见写下来并画押，随后将他们所分的财产对换，这样他们就哑口无言了，因为都得到了自认为多的那一份了。张齐贤就这样出奇制胜，明智地了断了“清官难断的家务事”。这可以说是一种逆向思维，就是在假设某些结果成立的前提下，设法解决问题。在这个例子中，就是假设他们对所分财产的抱怨都是对的。

李：另一种非常常用的方法是问题转化，又称化归。其本质和关键在于寻找联结点, 将问题转化成容易的形式。容易的形式往往是标准的、简单的、特殊的或者熟悉的形式。电路分析中常用的等效电路就是一例。波利亚建议：想方设法，不断尝试变换问题，直至可解或找到有用的东西。

教：这个我们多少都知道一些，不过很零星，毫无系统性可言。

李：常见的有化新为旧，化难为易，化变为定，化动为静，化繁为简，化异为同，化隐为显，化大为小，化一般为特殊，等等。要寻找未知与已知之间的联结点，遇新思陈，变生为熟，以简驭繁。比如，棋手要牢记不少残局，把棋局往有利于己方的残局上靠。这些残局就是问题的熟悉形式。不少平面几何问题很难求解，解析几何将它们转换为代数问题，用代数方法求解，它是数学史上的一大丰碑，是笛卡尔发明的，“业余数学之王”费尔马同时也独立得到了。这是一个化难为易的例子。笛卡尔后来提出一个“万能方法”，归根结底就是转化：把所有问题都转化为数学问题，把所有数学问题都转化为代数问题，把所有代数问题都转化为方程求根问题。虽然这并非万能，但在他那个时代已经很深刻了。常常把新的问题转化为旧的、熟悉的，把动态转化为静态，以静驭动，把变量转化为常量。微积分是变量的数学，其根本是极限问题，我认为至今尚未彻底解决，这是一个长期困扰数学界的难题，是所谓“数学的第二次危机”的核心。伯克利大主教所说的臭名昭著的“逝去量的幽灵”（ghosts of departed quantities）就是讽刺无穷小这个概念的。直到魏尔斯特拉斯提出ε-δ语言，“严谨”的极限概念才得以建立，渡过危机。回忆一下当时学的时候，这套语言容易理解么？

教：不容易，特别是其中的“充分小”部分。

李：极限是一种动态过程，要对之加以静态描述，寓动于静，用有限情形的“趋势”来定义无穷过程的终极，所以需要借用涵盖广泛却不够明确的“充分小”概念，因而不好理解。既想简洁，又要普适，还求严谨，所以只好牺牲直观和浅易。

教：其实，不用这套语言，我们也可以理解极限概念。

李：但是，严谨旨在避免理解因人而异。数学追求所有人的理解都一致，不能你理解为A，他理解为B。但是，想用静态语言来严谨地描述动态过程，不可能完美。很难理解，就是缺陷。在标准分析中，无穷小是极限为零的变量，在非标准分析中，无穷小是一个开邻域空间，它不为零但小于任何确定的有限量。对于无穷小和极限，人们的认识还很有限，虽然ε-δ语言为极限提供了一种形式化的描述。

教：对于我们来说，这些精确定义的唯一用处是做证明题的时候套上去。

李：不要小看这套语言。有人说，能否真正掌握这套语言，是成为数学家的一大障碍。绝大多数人终身无法真正逾越这一障碍。数学家PaulHalmos说，他记得清清楚楚，有一天下午他在一个教室的黑板前与某人正在交谈，突然理解了这套语言。那个下午，他成了一名数学家，此前他不理解极限，觉得微积分不好学。说穿了，数学不过是一种追求简洁而又尽可能无歧义的语言。伽利略说，上帝正是用这一语言写出自然之书的。
   言归正传。化归的一大方法是所谓转换-反演法。它先把问题转化成另一种形式，求解后再转化回原形式。这里，应首先尝试各种变换，如坐标变换、积分变换、约简变换、等效变换、拓扑变换，等等。转换往往还要反演，做变换时还要考虑逆变换。解方程中常用的变量替代法就是一种化归方法。信号处理中的傅里叶变换法，从时域到频域，在频域中处理，然后再回到时域，是另一例。注意，转换无需等效或可逆。如果转换后的形式更强、更一般，而且求解成功，则问题得到彻底解决，但应注意有可能违背前面所说的不引入更难子问题的法则。如果转换后的更弱，则问题得到局部解决，这与前面所说的特殊化方法有相通之处，这时最好设法补偿。还有，在数学上不等效的转换，就实际应用而言仍可能等价。我就在研究中多次遇到这种情况。转化包括把问题内部不熟悉的部分变成熟悉的。另外，也可认为重新描述问题是一种问题转化，关键是：对实际应用而言，新旧描述等价或新的更好。一个问题实在解决不了，就解决它的一个相似或相关的问题、一个更一般或更特殊的问题。

学：转化的关键在哪里？

李：关键在于把问题转化为熟悉的、容易的形式。比如，傅里叶变换把时域中的卷积变成频域中的乘积，大为简易。一个常用方法是回归本源，由此出发，考虑各种表现形式，选最有利于求解的形式。这也可以说是一种重起炉灶。溯源求本，前面已谈了不少。从不同的角度来看一个问题、来表述它，也是一种问题转化。此外，还要特别注意不变性。任何规律都是关于某种不变性的，否则就不成其为规律。万变不离其宗，不变性就是“宗”。要找准、抓住这个宗，万事万物都有某种不变性。各种守恒定律就是例子，它们指出不变量。比如，能量守恒定律说，能量就是这个不变的“宗”。还有一种方法与问题转化密切相关但不完全相同，就是不求解原问题，而求解一个相关或辅助的问题，其求解方法或结果可以启发或有助于原问题的求解。