数学理论是描述现实世界数量关系和空间形式的知识体系。数学理论是从基本概念出发，由基本假设演绎推理出的一系列逻辑结论，因此，形式逻辑的无矛盾性（逻辑完备性）是数学理论的重要特征。

基本概念是数学理论对研究对象本质属性的数学抽象，如欧几里得《几何原本》中的点、线、面；基本假设则是数学理论描述基本概念数量关系或空间形式的全称判断，如欧几里得《几何原本》中的公理，因此，基本概念是数学理论的逻辑出发点。

如果一个数学理论的基本假设与基本概念相互矛盾，我们就说该理论在逻辑上不能自洽，包含了一个逻辑悖论。

逻辑悖论会破坏数学理论的客观真理性和逻辑完备性，导致该理论不能正确描述现实世界的数量关系及空间形式。

数学史上的三次数学危机均是由于发现数学理论中包含逻辑悖论而引发的。逻辑悖论的出现还会导致数学理论发生重大范式转换，推动数学理论取得重大突破性发展。例如，“毕达哥拉斯悖论” 引发了第一次数学危机，促成了公理几何与逻辑的诞生；“贝克莱悖论” 引发了第二次数学危机，促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；“罗素悖论”引发了第三次数学危机，促成了数理逻辑与一批现代数学的产生。

一、《随机过程》基本概念

《随机过程》有三个基本概念：随机过程（Random process）、样本函数（Sample function）和随机变量（Random variable）。

《随机过程》的研究对象为动态随机现象，例如单个或大量粒子的随机运动过程。

对一个随机运动的粒子观察多次，或同时观察多个粒子的随机运动，会得到图1所示的随机试验结果（一族时间函数曲线）。《随机过程》首先将时间函数集合（随机试验结果）映射到样本空间Ω，然后将随机过程定义为Ω×T上的二元函数X(ω,t)。

图1 随机过程基本概念定义示意图

随机过程X(ω,t)有以下四种不同的情况：

（1）固定ω，X(ω,t)是时间t的函数，描述单个粒子的位移随时间变化过程，称为样本函数，或随机过程的一个物理实现，记为x(t)。

（2）固定t，X(ω,t)是样本点ω的函数，描述所有粒子在t时刻的空间位置分布状态，称为随机变量，记为X(t)。 

（3）固定ω，固定t，X(ω,t)是一个实数，表示某个粒子在t时刻的位移观测值。

（4）当ω和t同时变化时，X(ω,t)是一族依赖于样本空间的时间函数集合，或一族依赖于时间的随机变量集合。

从上述《随机过程》基本概念的定义可以看出，样本函数和随机变量是两个内涵与外延完全不同的数学概念。

样本函数x(t)是对单个粒子运动过程的数学抽象，是描述单个粒子个体行为的数学概念。

随机变量X(t)是对所有粒子空间位置分布状态的数学抽象，是描述所有粒子集体行为的数学概念。

二、《随机过程》基本假设

以布朗运动基本假设为例，说明《随机过程》基本假设与基本概念在逻辑上不能自洽的逻辑错误。

设x(t)为一个布朗粒子在t时刻的位移，根据《随机过程》基本概念定义，x(t)是固定ω时的随机过程X(ω,t)，亦即描述单个粒子个体行为的样本函数。

但是，《随机过程》布朗运动定义却给出了如下的基本假设：

x(t)～N(0,σ²t)

显然，基本假设中的x(t)为服从正态分布的随机变量，亦即固定t时的随机过程X(ω,t)，而随机变量是描述所有布朗粒子集体行为的数学概念。

三、基本假设与基本概念在逻辑上不能自洽

《随机过程》的基本概念将单个粒子的“个体行为”抽象为样本函数，而基本假设将单个粒子的“个体行为”抽象为随机变量，因此，《随机过程》基本概念和基本假设对同一研究对象的数学抽象相互矛盾（表1），在逻辑上不能自洽，表明《随机过程》理论包含逻辑悖论。

表1 《随机过程》基本概念与基本假设数学抽象对比

从形式逻辑的角度看，《随机过程》的基本假设没有保持与《随机过程》基本概念的同一，不加说明地用随机变量替代样本函数，产生了违反同一律的“偷换概念”逻辑错误。

四、《随机过程》不能自洽的历史原因

《随机过程》布朗运动理论的创立源于爱因斯坦1905年发表的布朗运动研究论文。

爱因斯坦建立了描述大量布朗粒子集体行为的扩散方程，得出了布朗粒子在扩散过程中的浓度服从正态分布的结论：

f(x,t)～N(0，σ²t)

1908年，法国物理学家佩兰（Perrin）对布朗运动进行了实验研究，实验证明了爱因斯坦布朗粒子浓度服从正态分布的结论。

1913年，维纳（Wiener）在英国剑桥大学留学时，在罗素（Russell）的建议下阅读了爱因斯坦的布朗运动研究论文，对单个布朗粒子的个体行为产生了兴趣，开始研究“一个微粒所走曲线的数学性质”。

维纳假设一个布朗粒子在t时刻的位移x(t)也服从与浓度f(x,t)相同的正态分布规律，于是给出了如下的布朗运动基本假设：

x(t)～N(0，σ²t)

显然，维纳混淆了浓度和位移这两个完全不同的物理概念，导致《随机过程》布朗运动基本假设产生了用随机变量描述单个布朗粒子个体行为的“偷换概念”逻辑错误。

爱因斯坦布朗运动扩散方程中的浓度f(x,t)描述的是所有布朗粒子在扩散过程中的集体行为，维纳用其描述一个布朗粒子的个体行为x(t)，得出的所有逻辑结论必然与客观事实不符。

五、各态历经随机过程

研究随机过程的统计规律，从理论上说需要通过实验观测得到所有样本函数x(t)，然后才能用统计方法求出不同时刻随机变量X(t)的数学期望、方差和自相关函数等数字特征，但这在实际研究工作中往往办不到，因为这需要对一个随机过程进行大量重复的实验或观察，甚至需要实验次数N趋于无穷大时才能满足要求。

有一种平稳随机过程，对其任何一个样本函数x(t)所做的各种时间平均，从概率意义上趋近于随机变量X(t)的各种空间平均或统计平均（图2），则称之为具有各态历经性的随机过程。

图2 各态历经随机过程

各态历经随机过程的任何一个样本函数x(t)都经历了随机过程X(ω,t)的所有可能状态，因此可用任何一个样本函数x(t)的时间平均来代替随机变量X(t)的统计平均或集合平均，大大简化随机现象的测量和计算过程，给解决实际问题带来极大的方便。

《随机过程》的研究对象（随机游走、布朗运动）为非平稳随机过程，不具有各态历经性，样本函数的时间平均和随机变量的空间平均完全不同，只能分别研究它们的时间变化规律和空间分布规律。

六、结论

《随机过程》理论的基本假设与基本概念在逻辑上不能自洽，或基本假设中隐含违反同一律的“偷换概念”逻辑错误，导致《随机过程》理论只能用描述随机现象集体行为的统计规律来描述随机现象的个体行为，就如同《物理学》用温度来描述一个分子的动能一样，不能正确描述实际随机运动现象及规律，为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的理论、方法及工具。因此，《随机过程》理论的基本假设将发生从随机变量到样本函数的重大范式转换，导致《随机过程》理论发生革命性演变，为中国的数学学科进入世界一流水平前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。

参考：

[1] 难以置信：随机过程专家学者混淆随机过程基本概念

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1460565.html   

[2] 随机运动理论中的“地心说”与“日心说”

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459406.html   

[3] 工程师与数学家的布朗运动理论对比

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1458528.html   

[4] 工程师的随机过程分析工具降维碾压数学家

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1459016.html