在前三期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰、理解黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？ | 袁岚峰和理解黎曼猜想（三）你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗？ | 袁岚峰，视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488、https://www.bilibili.com/video/av35082418和https://www.bilibili.com/video/av35623705）中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。我们还说到，黎曼通过解析延拓，把欧拉ζ函数升级成了黎曼ζ函数。顺便说一句，令许多人惊愕万分的所谓“全体自然数的和等于-1/12”，其实不是字面上的意思，而是说黎曼ζ函数在自变量为-1时的取值等于-1/12。那么，黎曼具体做了些什么呢？

黎曼

黎曼是一位德国数学家，生于1826年，可惜天不与寿，只享年40岁，去世于1866年。黎曼从小就显示出了超群的数学天才，得到过数学王子高斯（Johann CarlFriedrich Gauss，1777 - 1855）的赞赏，这是极其少见的。在黎曼去世五十多年后，爱因斯坦在发展广义相对论的过程中，又受到了黎曼极大的启发，可见黎曼的洞察力多么超越时空！

1859年，黎曼33岁时被选为柏林科学院（Berlin Academy）的通讯院士（corresponding member）。为了答谢这个荣誉，黎曼向柏林科学院提交了一篇论文，标题叫做《论小于给定数值的质数个数》（Ueber  die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，英文翻译为On the  Number of Primes Less Than a Given  Magnitude）。此文的篇幅虽然只有短短的8页纸，内容却非常丰富，语言极其精炼，直到现在都在不断给数学家们提供启发和挑战，堪称整个数学史上最深邃和最难啃的论文之一。此文的要点包括：

一，我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数（complex number），而不只是实数；

二，我们可以通过解析延拓（analytic continuation），让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义；

三，通过对ζ(s)的研究，我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置；

四，黎曼猜测，ζ(s)的零点都位于某些地方，这个猜测就是黎曼猜想。

现在我们来解释一下。欧拉ζ函数是这样一个对所有自然数求和的级数：

需要注意的是，这个级数只在s > 1时收敛，在s ≤ 1是发散的，因此没有意义。但是黎曼提出了一种通过ζ(s)来定义ζ(1 - s)的方法，硬是把这个函数扩展到了s ≤ 1的区域。

黎曼是怎么做的呢？在s > 1的情况下，黎曼经过一番巧妙的变换，证明了下面这个等式：

这里的Γ是欧拉Gamma函数，是阶乘的扩展。如果你看不懂细节，这并不重要。真正重要的，是看右边这个关于s的表达式：把s换成1 - s，答案不变。

为什么呢？因为这时前面的分式中的分母s(s  - 1)变成了(1 - s) (-s)，你看，确实不变。而后面的积分当中的两个指数，-(s + 1)变成了-(2 - s) = s -  2，而s - 2变成了-(s + 1)，你看，刚好是互换了一下，所以还是不变。结论是：右边的表达式，在s换成1 - s时，保持不变！

因此黎曼指出，左边的表达式在把s换成1 - s时，也保持不变。也就是说：

这个等式叫做黎曼的函数方程。根据这个等式，如果你知道了ζ(s)，你就可以算出ζ(1 - s)。就这样，黎曼对ζ函数做出了解析延拓，从它已知的在s > 1时的值，就可以定义它在s < 1时的值！

由于时间关系，在这里我们只能讲这个证明的大略。真正惊人的是，你如果照着他的证明一路推下去，你就会看到他的结论是正确的，但他是怎么想到这个做法的？这就完全是“一剑西来，天外飞仙”！即使在专业数学家看来，黎曼的思路也非常神奇，远远不是显而易见的。

一剑西来，天外飞仙

在这样神乎其神的洞察力和创造力面前，我们感到深深的震惊和敬佩。就像周星驰的电影《国产凌凌漆》里的台词：

“你那忧郁的眼神，唏嘘的胡碴子，神乎其技的刀法，还有那杯Dry Martine，都深深的迷住了我……”

《国产凌凌漆》

黎曼表现出来的，就是真正的神乎其技。我们应该感谢，有如此伟大的头脑引领人类前进！

细心的同学可能会问：从s变换到1 - s，只能把大于1的变换到小于0，那么0和1之间的怎么办呢？对此的回答是，早在黎曼之前，数学家已经对这个区域做出了解析延拓。

回顾一下我们这个系列的第一篇（理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰），把n的-s次方记作f(n)，把所有的f(n)的和即f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + …记作A。把f(2)乘到A上，会得到所有的偶数项。当时我们做的是，从A中减去f(2)A，就消去了所有的偶数项，只剩下奇数项。大家还记得吧？

现在我们要做另一件事，从A中减去二倍的f(2)A。这样会得到什么呢？显然就是：

右边这个表达式的特点是，不再全是正号，而是正负号交替出现。这个级数叫做狄利克雷级数（Dirichlet  series），狄利克雷（Johann Peter GustavLejeune Dirichlet，1805 -  1859）是另一位伟大的德国数学家，黎曼就是继承了他在哥廷根大学的职位。由于正负号交替出现，狄利克雷级数的收敛范围扩大了，从s >  1扩大到了s > 0。因此，在0和1之间，ζ(s)就可以用狄利克雷级数除以1 - 2f(2)来定义。

狄利克雷

好，在黎曼的解析延拓之后，我们可以对全部的实数s画出ζ(s)的图像如下：

如果把解析延拓比作抢救一个函数的话，那么我们对ζ函数的抢救确实获得了巨大的成功！只有s = 1这一点救不回来，在这里它仍然是无穷大。ICU也不能包治百病啊！

我觉得我可以再抢救一下

顺便说一句，在s < 1的区域，如果我们假装不知道ζ函数的定义已经改变了，把s > 1时候的级数代进去，就会得到下面的形式结果：

以及很多诸如此类的形式上的等式。我们在每一个等号后面都加了个问号，是为了强调这些并不是真的相等，只是一种联想。所谓“全体自然数的和等于-1/12”，“无穷多个1加起来等于-1/2”，以及“全体自然数的平方和等于0”等等，都是这么来的，绝不是真的相等。如果你要问这些无穷级数实际上等于什么，那当然是无穷大。

下一点要解释的是，黎曼ζ函数的定义域不只是实数，而是复数。如果你不知道复数是什么，那么我们可以稍微解释一下：复数就是所有的x  +  yi，其中x和y是两个实数，而i是-1的平方根，即i的平方等于-1，x叫做这个复数的实部，常用Re来表示，y叫做这个复数的虚部，常用Im来表示。全体的实数可以用一根数轴来表示，而全体的复数需要用一个平面来表示，这个平面的x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，在这个平面上坐标为(x,  y)的一个点就对应于x + yi，这个平面叫做复平面。我们也经常把复数理解为一个矢量，这个矢量的起点是原点，终点是(x,  y)。在这些意义上，实数是一维的数，而复数是二维的数。

把ζ函数的自变量s扩展为复数后，很容易证明，原来的级数在s的实部（即Re(s)）大于1时是收敛的，而在Re(s)小于1时是发散的。经过黎曼的解析延拓后，ζ函数最终变成了这样：

在整个复平面上，黎曼ζ函数只在s = 1这一点没有定义，而在其他所有的点都有定义。你也许会问，指数为复数的乘方怎么计算？回答是，看一下高中数学课本就知道了，关键全都在这个欧拉公式里：

因此，指数如果是纯虚数，乘方的结果就是给原来的复数矢量做了一个旋转。指数如果是实数，乘方的结果就是改变了原来的复数矢量的长度，而方向不变。指数的实部和虚部如果都不等于0，乘方的结果就是既改变大小，也改变方向。

黎曼把ζ函数的自变量s从实数扩展到了复数，也就是说把ζ函数从实变函数变成了复变函数，这样做有什么好处呢？

好处在于，在某种意义上，复变函数比实变函数简单。是的，你没听错，二维的复变函数比一维的实变函数简单。

为什么呢？因为在数轴上接近一个点，只有两个方向，左和右，而在复平面上接近一个点，却有无穷多个方向，例如左边、右边、上边、下边以及任意倾斜的方向。如果对无穷多个方向做计算都能得到同一个结果，那么这是一个非常强的限制条件，能通过这样的限制条件的复变函数就很容易处理，比实变函数容易处理得多。例如，复变函数的解析延拓就比实变函数的解析延拓容易得多。因此数学界有这样的笑谈：实变函数处理的都是性质非常恶劣的函数，复变函数处理的都是性质非常良好的函数。

现在我们可以理解黎曼的做法了。用《三体》的语言说，黎曼对ζ函数发动了“降维打击”！

二向箔

复变函数的一个特点是，许多性质是由它的零点（zero）决定的。所谓零点，就是使得这个函数取值为0的点，例如正负i就是复变函数f(z) = z² + 1的两个零点。

如果你在复平面上围着一个零点做一条曲线，好比扔一个套索套住这个零点，然后求函数在这条曲线上的积分，那么你会发现积分结果完全由零点的性质决定，跟曲线的具体情况没有关系。你可以把这条曲线扩大一点或者缩小一点，拉长一点或者压扁一点，都对结果完全没有影响，你只需要知道函数在零点附近的行为就够了。

来，让我们为复变函数献上一首《套马杆》！套马的数学家，你威武雄壮！

套马杆

黎曼对ζ函数套了一通马之后，套出了下面这个惊人的等式：

这个等式说的是什么呢？左边的J(x)是一个阶梯函数，它在x  =  0的地方取值为0，然后每经过一个质数（例如2、3、5）就增加1，每经过一个质数的平方（例如4、9、25）就增加1/2，每经过一个质数的三次方（例如8、27、125）就增加1/3，如此等等，每经过一个质数的n次方就增加1/n。你可以把它理解为，一个质数的n次方被算作了1/n个质数。显然，这个函数跟质数的分布密切相关。

来看等式的右边。第一项Li(x)叫做对数积分函数（logarithmic integral function），它的定义是：

对数积分函数的图像是这个样子：

在x很大的时候，Li(x)就约等于x/lnx。

再来看第二项，这里的函数形式仍然是对数积分函数，但自变量却变得非常有意思，是所有的x的ρ次方。这些ρ是什么呢？回答是：黎曼ζ函数的非平凡零点（non-trivial zeroes）。

零点我们知道了，就是使函数取值为0的那些点。为什么又加个“非平凡”呢？因为黎曼证明了，s等于-2、-4、-6、-8等负的偶数值的时候，ζ(s)必然等于0。如果用类似于“全体自然数的和等于-1/12”那样的开玩笑不嫌事儿大的语言，就可以说“全体自然数的平方和等于0”，“全体自然数的四次方和等于0”，“全体自然数的六次方和等于0”，以至于“全体自然数的偶数次方和等于0”。在数学家们看来，这是一目了然的，于是他们把ζ函数的这些零点叫做平凡零点（trivial zeroes）。好吧，数学家的“一目了然”和我们真是两个概念！

但是除了负的偶数之外，黎曼ζ函数还有其他的零点。这些零点的位置就远远不是一目了然的了，即使对黎曼都不是，因此被称为非平凡零点。上面提到的ρ就是这些非平凡零点。可以确认的是，非平凡零点肯定不在实轴上。在实轴上除了负的偶数，没有其他的零点了。

你也许会问，既然非平凡零点ρ不是实数，那么x的ρ次方也不是实数，对这样一个虚数自变量的对数积分函数是怎么计算的？回答是：数学家又做了一个解析延拓，把对数积分函数的定义域扩展到了复数。

总而言之，黎曼套马杆的结果，就是对一个与质数分布密切相关的函数J(x)给出了一个表达式，其中唯一不清楚的部分来自黎曼ζ函数的非平凡零点。

然后，让我们回顾一下，黎曼这篇论文的标题叫做《论小于给定数值的质数个数》。有一个函数叫做质数计数函数（prime-counting function），意思是小于等于给定数值x的质数个数，数学家经常把它写成π(x)。这个名字有点杯具，因为它跟圆周率π毫无关系。

让我们来举个例子，小于等于1的质数有多少个？回答是没有，所以π(1)  = 0。小于等于2的质数有多少个？回答是1个，就是最小的质数2，所以π(2) = 1。小于等于3的质数有多少个？增加了一个质数3，所以π(3)  = 2。类似地，π(5)= 3，π(7) = 4，π(11) = 5等等。对于前60个自然数，质数计数函数的图像如下：

显然，如果我们对质数计数函数知道了一个简便的计算公式，那么对第n个质数也就有了快速的算法。如我们在本系列中第一篇所说的，这将造成惊人的后果，对理论和应用都产生巨大的影响。

你也许会叹息，黎曼得到的并不是π(x)，而是J(x)。没关系，这两个函数包含的信息是等价的，从它们中的一个就可以推出另一个。在这个意义上，质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。用《肖申克的救赎》中的台词说：“得救之道，就在其中！”

得救之道，就在其中

具体地说，π(x)和J(x)之间的关系是：

这里的μ(n)叫做莫比乌斯函数（Möbius function）。没错，就是莫比乌斯带的那个莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790 - 1868），这又是一位伟大的德国数学家。

莫比乌斯带

莫比乌斯函数的取值只有三种可能：0和正负1。如果n可以被任何一个质数的平方整除，也就是说在它的质因数分解中有一个质因数出现了二次或更高次方，那么μ(n)  =  0。如果n不能被任何一个质数的平方整除，也就是说n的任何一个质因数都只出现一次，那么我们来数质因数的个数。假如质因数有偶数个，那么μ(n)=  1。在这里还包括了n = 1的情况，因为它没有质因数，0算作偶数，所以μ(1) = 1。而假如质因数有奇数个，那么μ(n) = -1。

由此可见，μ(1) = 1，μ(2) = -1，μ(3)= -1，μ(4) = 0，μ(5) = -1，μ(6) = 1等等。这正是上面的展开式中用到的前几项。

很显然，J(x)是一个增函数。在上面的展开式中，随着n的增加，x的1/n次方变得越来越小，相应的第n项也变得越来越小。因此，对π(x)贡献最大的就是第一项，J(x)。而对J(x)贡献最大的来自哪一项呢？这就涉及到黎曼ζ函数非平凡零点的位置了。

一个非平凡零点ρ的实部和虚部经常被记为σ和t，即ρ  = σ + it。黎曼很快就证明了，ρ不可能出现在σ > 1或者σ < 0的地方。也就是说，非平凡零点只可能出现在0 ≤ σ ≤  1的区域里。在复平面上，这对应于一条宽度为1的竖直条带，人们把它称为临界带（critical strip）。

然后，根据黎曼ζ函数的形式，很容易发现零点对于实轴是对称的。也就是说，如果σ  + it是一个零点，那么它的共轭复数σ -  it也是一个零点。因此，非平凡零点总是上下成对出现的。当我们说第n个非平凡零点的时候，指的总是第n个虚部为正数的非平凡零点，而虚部为负数的那些你自动地就知道了。

再然后，根据黎曼的函数方程，即ζ(s)与ζ(1 – s)之间的联系，又很容易发现，非平凡零点对于σ = 1/2这条竖线是对称的。也就是说，如果σ + it是一个零点，那么1 - σ + it也是一个零点。

黎曼计算了几个非平凡零点的位置，发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点，实部都等于1/2，而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。然后，他就做出了一个惊天动地的猜想：

黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2！

这就是黎曼猜想，数学中最大的未解之谜之一。

我们把σ = 1/2的这条竖线称为临界线（critical line），也就是临界带的中心线。前面我们已经知道了，所有的非平凡零点都在临界带里。但黎曼猜想却大大地加强了这个结论，它说的是：所有的非平凡零点都在临界线上！

临界线与临界带

这是一个非常令人惊讶的结论。假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值，那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。而现在黎曼却认为这个概率是100%！这件事如果是真的，就说明它一点都不随机，在这背后肯定有深刻的原因。

黎曼猜想到底对不对呢？目前还没有被普遍接受的证明或证伪。但数值计算的结果，已经为这个猜想提供了强有力的支持。

到目前为止，人们已经计算了十万亿个非平凡零点。然后你猜怎么着？这十万亿个非平凡零点都整齐划一地躺在临界线上。十万亿！因此，绝大多数数学家都相信黎曼猜想是正确的。

黎曼猜想有什么用呢？我们可以举一个容易理解、也意义重大的例子，这是一个在探索黎曼猜想的过程中得到的中间结果。

来问你一个问题：在1到10的100次方的范围内，大约有多少个质数？

数学王子高斯小时候就研究过质数分布的问题。怎么研究呢？每当他有空的时候，就挑出几个长度为1000的自然数区间，算出这些区间中的质数个数。你看，这就是高斯的消遣！

高斯

显然，随着数字的增大，质数一般而言会变得越来越稀疏。但具体是怎么个稀疏法呢？在做了大量的计算和比较之后，高斯发现质数分布的密度大约是对数函数的倒数，也就是说，在x附近的一个数是质数的概率大约是1/lnx。你看，数学家的消遣能够结出什么样的果实！后来，法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）也得到了同样的结果。

勒让德（没错，就是这么一副怒发冲冠的样子）

高斯和勒让德的结果，只是来自数值实验，没有严格证明，因此只能算作猜想，跟黎曼猜想属于同一层面。

在高斯和勒让德的猜想困惑了人们100多年后，1896年，法国数学家阿达马（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利时数学家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 -1962）终于证明了它。从此之后，这个命题被人们称为质数定理（prime number theorem）！看这个名字就知道，它的分量有多重了。

但在方法论上，质数定理却只是研究黎曼猜想的一个中间产物。黎曼一上来就证明了，黎曼ζ函数的非平凡零点只能出现在0  ≤ σ ≤ 1的临界带里。对于质数定理而言，讨厌的就是那两个等于号。如果能去掉等于号，也就是说把临界带去掉两条σ = 0和σ =  1的边界，让非平凡零点只能出现在临界带的内部而不是左右边界上，那么质数定理立刻就获得证明了。因为这时你就很容易证明，对质数计数函数π(x)的主要贡献来自对数积分函数Li(x)，次要贡献来自黎曼ζ函数的所有非平凡零点。

所以让我们再次感谢，有如此伟大的头脑引领人类前进！

在1896年，也就是在黎曼1859年的论文发表37年之后，阿达马和德·拉·瓦·布桑终于去掉了这两条边，从而证明了质数定理。我们前面说过，蓝眼睛岛问题（从蓝眼睛问题，看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰）跟黎曼猜想相比，就好像新手村送经验的小怪跟终极大boss的对比。现在你能体会到了吧？

质数定理的内容，其实就是小于等于x的质数个数π(x)约等于Li(x)。说得严格一点，就是当x趋于无穷时，π(x)与Li(x)的比值趋于1。前面我们说过，在x很大的时候，Li(x)约等于x/lnx。因此质数定理也可以表述成，π(x)约等于x/lnx。

从上面这个图可以看到，随着x增大，π(x)与这两种近似表达式的比例都趋近于1。不过，π(x)除以x/lnx趋近于1的速度很慢，而π(x)除以Li(x)趋近于1的速度就快得多。也就是说，作为对π(x)的近似，Li(x)比x/lnx要好得多。不过这只是定量的区别，不是定性的区别。

用密度的语言说，在x附近的一个自然数是质数的概率，大约是1/lnx。与此同时，在小于等于x的自然数中任选一个是质数的概率，也大约是1/lnx。

因此，在从1到10的100次方的范围内，大约有多少个质数呢？现在x等于10的100次方，对它取自然对数，得到lnx  = 100ln10 ≈  230.26。从1到10的100次方中的质数个数，大约就是x除以230.26，约等于4.3924乘以10的97次方。以后，你就可以去考别人类似的问题了。你看，这是多么重大的进展！

由此可见，质数定理构成了我们对质数分布的基础描述，而黎曼猜想表征的就是对这个基础描述的修正。下面这个动图，就表现了用0到200个非平凡零点来计算质数计数函数时，效果的逐渐改善。再次重复一下，质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。得救之道，就在其中！

最后顺便说一句，请注意证明了质数定理的这两位数学家的寿命：德·拉·瓦·布桑活到96岁，阿达马活到98岁！

德·拉·瓦·布桑

阿达马

因此数学界有一个说法：如果有人证明了黎曼猜想，他就会不朽。不仅仅是精神层面的不朽，那是理所当然的，而且还是物质层面的不朽，即长生不老！理由是：你看，这两位还没有证明黎曼猜想，仅仅是取得了一点进展，就活到了近一百岁。如果是证明了黎曼猜想的，那还得了吗？嗯，从这个角度看起来，最有希望证明黎曼猜想的人就是……