前些天科学网有几篇博文，对吴老师的论文《任意n次不可约代数方程的根式解》（下面简称“吴氏法”）【1】，展开学术讨论。程吴双方的根据都是伽罗华理论。程认为根据伽罗华理论，5次方程不可能有根式通解，发现吴氏法有错【2】。吴认为这是对伽罗华理论的误读，这理论只是对求解过程中添加根式指数大于4而言，他的论文中给出一种方法，能够算出（一类）n次方程的根式解【3】【6】。（博主按：对某一类方程，理论上确有可能【4】）程质疑吴氏法：将5次方程的根设为秩数为3的线性表达式是错误的，所以这方法即使对个别方程有效，对随意给出的方程，能解的概率也是0. 他举出几个简单的方程为例【2】【4】。吴认为：程的例子不是他所说的不可约代数方程【3】。程仍坚持他的质疑，但不再争论，为讨论中对长者的急躁态度致歉【5】。自此，被一些人误解为这学术争执已有了定论，并摘录广为传播。

我觉得匆忙终止这已经引起广泛关注的学术争论，对关注这数学问题的读者，特别是心中还未有定论的人，欠了一个交代，对争论的双方也不公平。吴老师也希望大家关注认可他的研究成果，真诚地希望能够实事求是地讨论，共同探索真理。我与吴老师多次讨论后，都同意用吴老师认可的不可约方程的解来检验【3】【6】。这是一判据性的实验，将这问题简化归结为几个数值的四则运算，通过验算也许可以有个定论。不论结果如何，对我们都是一个学习的过程。学术的争执应持开放的心态，最后用事实来检验，哪一方都可能出错，但这仅仅是对论题对错而言，不足为耻，希望大家不要对结果过分解读，理性地追求真理。

程代展提出不可约代数方程方程 $y^5-5y-2=0$ 精确到6位小数的解是：

$y_0= 1.582036$ 

$y_1=-1.371882$ 

$y_2=-0.402102$ 

$y_3=0.095974-i1.510795$

$y_4=0.095974+i1.510795$

吴老师的方法中，方程的根可以表达成4个z参数的式子，

$y_0 =z_1 +z_2 +z_3 +z_4$,                      （1）

$y_1 =(w_1z_1 +w_1z_2 +w_2z_3 +w_2z_4)/2$，       （2）

$y_2 =(w_2z_1 +w_2z_2 +w_1z_3 +w_1z_4)/2$，       （3）

$y_3 =(w_1z_1 +w_2z_2 +w_1z_3 +w_2z_4)/2$，       （4）

$y_4 =(w_2z_1 +w_1z_2 +w_2z_3 +w_1z_4)/2$，       （5） 

其中$w_1 =(-1 + i\sqrt{3})/2$, $w_2 =(-1 - i\sqrt{3})/2$,

将式子两边同时做加减法(2)+(3)-(4)-(5)，消去未知量，我们得出根的关系式：

$y_1+y_2-y_3-y_4=0$                         （6）

现在要验算：

1. 证实上面给出的 $y_0,y_1,y_2,y_3,y_4$ 确是 $y^5-5y-2=0$ 方程全部的根。5次方程只有5个根，只要将它们逐个代入方程验算即可。

2. 用吴氏法求解的根必须满足的关系式（6）。这个大家可以检验逻辑上是否如此。

3. 将方程的根代入式子（6），看看是否满足。如果这个等式可以保持，则这组根有可能用吴氏法解出，否则吴氏法不可能用来解这个方程。

这是一个判据性的实验，我和吴老师都初步算过，结果不同【3】【6】。虽然大家都有信心，但毕竟还要仔细验算过，得出一致同意的结果才算数。这个只需要中学代数知识，大家也可以参加验算和讨论，把你们的结果写在评论里。

【后记】写于评论[48]，点击737时

这次判据性的检验由程老师提供方程的5个根，来检验吴氏法推出来的关系式（6）。因为5次方程只有5个根，如果吴氏法能解这方程，那他解出的根也只能是这5个，并将符合关系式（6）。否则，要么这5个不是方程的根，要么吴氏法不可能解这方程，二者必居其一。

程老师提供6位和10位小数解用于验算，分别如下：

    $y_0= 1.582036$               $y_0= 1.5820357689$

    $y_1=-1.371882$              $y_1=-1.3718817830$

    $y_2=-0.402102$              $y_2=-0.4021023899$

    $y_3=0.095974-i1.510795$    $y_3=0.0959742020-i1.5107953580$

    $y_4=0.095974+i1.510795$    $y_4=0.0959742020+i1.5107953580$

后来他又提供31位小数的解，可以用来对照，了解前者的精度：

$y_0= 1.5820357688927931390212262598561$

$y_1=-1.3718817830389344254445281446842$

$y_2=-0.40210238992921747200602910113434$

$y_3=0.095974202037679379214665492981254-i1.5107953580135570737853310466587$

$y_4=0.095974202037679379214665492981254+i1.5107953580135570737853310466587$

徐晓、谢龙、sowhathen、李铭等及吴老师参加了验算。大家先检验它们是否确是根。几位网友和吴老师将这6位小数根分别代入方程验算，得出的误差都在0.00001以内（见评论[34][41]），徐晓又对10位小数解验算，其误差至多是在第10位小数（见评论[47]）。

吴老师认为“即使它们分别代入该方程都符合，也不能肯定它们5个就是该方程的解。这各数是否方程的解，必须用‘是否满足各解与各系数的各关系式’来检验！”（见评论[41]）。徐晓对6位和10位小数的验算中，也包含了吴老师提出的解与各系数的5个关系式，其吻合的误差分别在第6位和第10位小数以内（见评论[34][47]），证实这也符合吴老师根的检验标准，他还贴出计算程序以供验证（见评论[33][46]）。

徐晓也计算了吴氏法判据式（6），对不同精度的根，左边的结果都是-1.9659（见评论[34][47]），如果吴氏法能够求解，它必须是0.吴老师说：“y1+y2-y3-y4 =0，代入那5个数=-1.9659 就差别很大！已可表明：它们不是该方程的解！这就是对验算结果应有的正确解读！”（见评论[42][43]）

吴老师刚好把结论弄反了，把对他方法的检验，看成是以他的方法来判定方程的根！他无视了所有对根验证的结果，将对他不利的证据当作他是正确的理由。至此，几位网友建议，这个争论没有必要进行下去了。

我很理解费尽心血的研究得不到关注和专业评判的痛苦，追求真理的人，希望得到无论是肯定或否定的答案以解心结，这远胜于被忽视悬挂在空中的煎熬。抱着这个初衷，我试着在吴老师的博文里和他讨论，到了最后验算却不能对上数值，写了这篇博文，也想借这个机会让大家共同验算，通过一个大家都感兴趣的简单典型例子，演示怎么解决科研中争论的方法。

所有的争论，通常是双方都很确信自己的结果，对心中已有定论的人来看，都觉得是极其明显，但持不同意见的对方未必是如此。所以通过一个大家都同意的检验（公共知识），各自出示证据，则可以达成一致。这也是我试图普及公共知识理论的一个应用【7】。

吴老师的解读让我很意外，我不想再继续了，以免他的辩解造成了他对自己的伤害。也许他需要点时间来消化，才能够接受。关心这个问题的读者可以在这里和跟帖评论中找到自己的答案。感谢徐晓、谢龙、sowhathen、李铭等和两位老师在这验算中花费的大量时间！

【参考资料】

【1】吴中祥，任意n不可约代数方程的根式解，http://bbs.sciencenet.cn/blog-226-510331.html

【2】程代展，五次方程到底有没有根式解？http://blog.sciencenet.cn/blog-660333-669483.html

【3】吴中祥，对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解（1），http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=226&do=blog&id=670152

【4】应行仁，程吴五次方程解争论之科普，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&quickforward=1&id=669795

【5】程代展，关于“五次方程到底有没有根式解？”的几点注释，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=660333&do=blog&id=670498

【6】吴中祥，对“任意n次不可约代数方程的根式解”的一些注解（2），http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=226&do=blog&id=671080

【7】应行仁，沟通达到理解的逻辑过程——Agreeing to disagree，http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-641155.html