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蒙提霍尔问题(3)——主观和客观 精选

已有 8630 次阅读 2013-3-16 06:16 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 智力, 贝叶斯, 蒙提霍尔问题

上篇考察vos Savant标准问题中举例说的具体的场景【1】【2

 

在三扇分别藏有一辆车两只羊门的猜测中,参赛人选了1号门,主持人打开3号门里面是羊,问:改选2号是不是有更大机会选到车?【场景1

 

用贝叶斯公式计算出这个场景下的条件概率

P(车在2号门 | 1号门,打开3号门)= 1/P(打开3号门 | 1号门,车在1号门)+ 1

 

发现这时2号门有车的概率是在1/21之间,依主持人的心念而定。【2】【3】当然主持人是仍然要遵照vos Savant标准问题的规定,即主持人必须在参赛人选择的门之外,打开一扇有羊的门,然后让参赛人做第二次选择。

 

那么已经折服了大众的实验统计及vos Savant的样本空间证明【说法3】,和这贝叶斯公式的计算相异,到底哪个对?

 

让我们细考一下这个vos Savant的样本空间证明

 

 

1号门

2号门

3号门

不换的结果

换的结果

赛局1

赛局2

赛局3

 

这个样本空间是针对vos Savant标准问题的总体而言,即不加区分主持人打开是哪个门,只要必须打开有羊的门的情况。Vos Savant从中计算出她2/3概率的结论。实验不外乎按照这个理解,将这些样本随机产生出来,再加以统计。这相当于主持人在还没确定打开哪个门之前问这问题,这打开的门可能是3号,也可能是2号。这时你可以算出主持人没有打开的另一扇门的概率是2/3。而上述的条件概率计算则是说:当主持人打开了3号门,让你看到了并不意外的事实后,你就不能确定另一扇门的概率了!

 

让我们验证一下这个情况。这个具体的例子【场景1】中主持人打开有羊的3号门,这只能包含赛局12这两种样本。按照规定,主持人在赛局2他是没有选择地打开有羊的3号门;在赛局1时,他可以按照自己的心中的任何规则来选择23号门,而不违反规定。如果主持人自己的规则是,总打开3号门,那赛局12样本有均等机会出现在3号门被打开的场景中,其2号门有车的概率是1/2;反之,如果这时他的规则是,总是打开2号门,而这里打开的却是3号门,那赛局1就不可能出现在这场景中,只有赛局2才有可能,其2号门有车的概率是1;如果这时他是平均在23号门中选,赛局1样本在3号门被打开时出现的概率是赛局2的一半,这时2号门有车的概率是2/3。主持人在赛局1的情况,按不同的频率的规则打开3号门,2号门有车的概率从1/21之间都有可能。这验证了按贝叶斯公式导出的条件概率的公式。

 

人人以为实验的结果是最客观的,其实实验的数据该怎么统计,却是决定它的结果。如果我们用统计实验来验证这个具体的场景,统计只能计算符合这场景的样本,而不是全部的数据,这时候实验中主持人开门的不同规则,就显示出不同的结果。

 

在这个之前,样本空间的证明和实验的统计是不加区分地对所有可能的场景而言,主持人在赛局1不同的开门偏好造成了每个场景中另一个门有车的不同概率,但是所有场景的总体,或者说对于所有场景计算出来的另一个门有车概率的平均值却是2/3,如同vos Savant的直观证明、样本空间的证明和实验的统计出来的结论一样。所以vos Savant对于不只是针对3号门被打开的具体场景,而是一般的情况,并不是没有道理的。

 

至此,我们似乎可以得出结论:vos Savant2/3概率结论适合于不加区分主持人打开哪扇门的总体情况。在主持人打开门后,在这个具体的场景中,另一扇门的概率是1/21之间的一个数,依主持人的开门规则而定。在1991年后的近二十年中,Wiki和大部分介绍文章都认同这个结论。这也是对简单地认为vos Savant2/3概率是正确答案的否定。

 

面对着一个具体的场景,同样是主持人打开一扇有羊的门,仅仅是主持人的动机不同,同样的事件造成另一扇门有车的概率不同。也就是说主持人只是自己心里想的,将来的事还没做,这就影响到了另一扇现在的概率。原来有比较确定概率的总体,被事实揭露后进入一个场景反而更不能确定它的概率。这让很多人感到困惑和哲学上的深思。人们很快会联想到量子的不确定,坍缩和量子纠缠等等。

 

这似乎很玄妙。到底这个概率是多少,我们可以通过事后观察统计来得到。这个概率叫“客观概率(频率概率)”由频率方法来定义。我们在事后的观察统计中,已经包含了主持人在他的规则下的具体行动的后果。

 

读者和参赛人事先能够推算出这个概率吗?能,只要我们知道这个观察统计实验中所有的选择规则。这样推算出来的概率叫“主观概率(贝叶斯概率)”由推算者掌握的信息来计算。如果我们知道主持人是按照什么规则来开门,那么得出的就是上述贝叶斯公式计算出来的条件概率。它一定符合用相同规则实验统计出来的客观概率。如果不知道这个潜规则,那么对于主持人打开3号没有羊门的事件就无法用来修正先验的信息。

 

从这个观点来回顾蒙提霍尔问题的争论就豁然开朗,问题中概率用贝叶斯公式来推算。最初,只知道车子的放置和参赛人的选择都是完全随机的,这确定各个门有车的先验概率是1/3。当我们知道主持人打开一扇有羊的门时,这个排除一扇门和一只羊的信息,将这先验概率修正为1/2。这就是大众的推测。当我们知道主持人必须打开一扇有羊的门时,这更丰富的信息,保持了1号门后验的概率不变,仍然关着那扇门后验概率则变为2/3。如果我们知道具体主持人打开了哪扇门并知道他的开门规则,我们就能算出仍然关着那扇门的后验概率。所有这些推算都是主观概率,具体数值依所知多少开门规则的知识而定。各方所推测的概率数值,依照他们所理解的开门信息,得出的结果都是对的。争论在于不了解对方所根据的信息,缺乏对概率概念的深刻理解,把自己的主观概率当作客观概率。实际上,不是基于实验的数据,能够被推理论推算的概率,都是主观概率,这个问题问的也是主观概率。所不同的是你能在这故事中挖掘出来多少有用的信息得出最准确的后验概率。

 

在这个具体的【场景1】中,如果不知道主持人在赛局1的开门规则,我们能够得出与客观概率相同的主观概率吗?不能。我们还是只能推算出2/3的结果,这已经是最大限度地利用已知的信息。这这个观点来看,Morgan等四位教授论文【3】中反对vos Savant的结论是错的。这个错误一直等到20年后才被人指出【4】。

 

如果我们就像在实际的蒙提霍尔游戏节目中面对着这样的场景:初选1号门,主持人打开有羊的3号门,并不知道他按照什么规则来选择的,甚至不知道会不会打开有车的门,这时问:是不是换2号门更有利?我们能够用概率来确定改换的好处吗?不能。用贝叶斯公式不难推算出,这时2号门有车的概率从01任何一种皆有可能。最后的结果不是由概率计算就能确定的,它是由主持人和参赛者各自的决策所共同决定的。这不是一个概率的问题,是博弈的问题【4】。我们应该用博弈的模型来解决。

 

许多人应用数学解决实际问题时,发现事实与计算的不一样,就把它归结为数学的局限,其实更应该检查的是:自己有没有用对了数学的模型。

 

如果你在读这三篇连载时,你的结果与这最后的答案是相同或者相异,这都不重要。重要的是,这辩驳的理由和推理有没有在你心中想过,这决定了你对概率的理解有没有新的收获。

 

同一个故事,同一个问题,可以从不同方面来解读,也就有不同的体会。有人觉得无聊,有人急于知道答案,有的从争执方的动机来猜测对错。但如果想有最大的收获,读这个故事时,就要把其中人物的动机和胜负得失,以及自己答案的对错撇开,集中于概率问题的思考。真实世界上的人行事都有其动机,不管动机是否纯洁,只要他们的解答是符合逻辑的,就值得思考,客观地思考是一个学习的过程。数学的对错无关动机,只凭逻辑。这个问题和各方的答案,能有这么多人长时间地在学术刊物上争论,就说明不是个很简单的问题。如果把它看简单了,那就说明自己的思考还不全面,也没有深入到细节,还不能够清晰地分辨各种理由逻辑中的误区。如果你跟了故事里不同观点来思考,那便是一个很好学习概率概念的过程。

 

 

【参考资料】

【1】       科学网博文“蒙提霍尔问题——直觉与计算” http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=669134

【2】       科学网博文“蒙提霍尔问题——折服和逆袭” http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=826653&do=blog&id=670132

【3】       Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., & Doviak, M. J. (1991). "Let's make a deal: The player's dilemma," American Statistician 45: 284–287. http://www.its.caltech.edu/~ilian/ma2a/monty1.pdf

【4】       Gill, Richard (2011) The Monty Hall Problem is not a probability puzzle (it's a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica 65(1) 58–71, February 2011. http://arxiv.org/pdf/1002.0651v3.pdf

 



http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-670712.html

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