内容梗概：前几次说到冬至是从阴到阳的转折点，“日北至”，“一阳生”。但冬至不是某一天而是一个时刻。如何测量这一时刻？最常见的方法是测量冬至前后几天的影长。但如果那几天阴天怎么办？冬至时刻不是正午怎么测量影长？祖冲之提出了巧妙的方法解决了这一问题。这种方法后来为历代所采用，它所用的数学和几何原理非常简单，初中生都明白，但却蕴含着科学发现的普遍规律：长期观测、分析数据、深入思考、提出假设、实验验证。

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一周以后，老师和学生又在老地方碰面了。这天餐厅里有些拥挤，中间的大长条桌坐满了人，好像在聚餐。他们好不容易找到了一个靠墙的座位。

刚一坐下老师就问：“上次我们提到的那位中国古代科学家，你猜到了吗？”

“是祖冲之吧？” 学生说道。

“对，正是他。”

“提到圆周率就想到了祖冲之，以前只知道他是数学家，还真不知道他还测量过冬至时刻！” 学生说到。

祖冲之 （位于北京古观象台. from Wikimedia）

“除此之外，祖冲之还对天文历法做出了很大的贡献！你记得祖冲之是什么时候的人吗？”

“是南北朝的？”

“对，也就是公元500年左右，距今已经1500多年了。那时既没有望远镜、也没有精确的秒表，更不用说其它先进的仪器和设备了。”

“那祖冲之是用什么工具来测量冬至时刻的呢？” 学生不解地问道。

“只是用一根杆子而已，测定正午时分杆子投射在地面上的影长。当然准确的叫法应该是圭表。”

圭表包括两部分，竖立起来的叫做“表”，而水平放置的叫“圭”，圭上有刻度，用来指示影子的长度 （位于北京古观象台内. from Wikimedia）

“就这么简单？”

“是的，如果仅仅是想知道冬至大概是在哪一天，那么只需要测量冬天正午影子最长的那一天即可。但是由于“景之差行，当二至前后，进退在微芒之间”，冬至附近影长变化经历了一个拐点，本来变化就不明显，再加上冬天日影变淡，很难精确测量，所以根据《左传》等资料推算，那时连冬至日都测不准，通常会有2-3天的误差。”

“可是我有个疑问：冬至那几天要是“阴天”怎么办？ 就没法测量日影了吧？”

“是的，这是个棘手的事情，毕竟天气没法轻易改变。其实，祖冲之还有更大的挑战呢！”

“什么挑战？” 学生问道。

“冬至不是一个日子，而是一个时刻。而要精确地测量出冬至时刻，才能够帮助制定出准确的历法。但我们知道冬至时刻每年都在变，不一定正好是正午，如果冬至时刻在晚上，那又如何测量影长呢？古人总不会绕过大半个地球跑到美国去测量正午时分的影长吧！”

“那该怎么办呢？”

“这说明，单单测量影长已无法准确得到冬至时刻，必须进行推算。祖冲之之前的何承天，他连续测量十年，并且利用古人提出“要取其中”的方法来推算冬至时刻。但是具体如何做，现在已经不可考了。祖冲之长袖善舞，提出了一种很巧妙的方法，化解了阴天无日影问题、冬至时刻不在正午的问题。他提出的方法不局限在一定要在冬至这一天测量影长，而是在冬至前后几十天的范围内挑选几个晴天的日子测影长，然后进行一些简单计算就可以了，这样一来，天气的原因对于祖冲之来说就不是问题了。”

“哦，是吗？真巧妙！那需要测量多少次呢？”

“需要三天正午的测量数据，因为不知道未来会不会阴天，为了保险可以多测几次，但做计算时只要有三次的有效影长的数据就够了。”

“只需3次的数据？”

“是的。”

“我对祖冲之越来越好奇了”，学生感叹道：“他究竟是个什么样的人呢？既精于数学，又通天文！”

“你说的没错，一个人的性格、经历和治学态度，决定了他采用的方法，而方法又决定了成就大小。”

“嗯。祖冲之的家庭是怎么样的呢？”

“祖冲之生于429年，在他出生前九年，东晋灭亡。接下来中国进入了南北朝时期，形成了南北对立的局面。 祖冲之生活在南朝的宋和齐两个朝代，都城是建康，也就是今天的南京。祖冲之家族属于低级士族，地位不高，但是有世代钻研学习的传统。祖冲之的祖父祖昌善于发明，在朝廷担任过大匠卿，父亲祖朔之是皇帝的侍从官员。根据《隋书》记载，祖家世代掌管历法。祖冲之自幼生活在这样的家庭里，对天文学和数学非常感兴趣，广泛搜罗阅读钻研前朝留下的著作，但是他发现古人留下的论述中又有一些不可靠的地方，所以他每每“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”，“不虚推古人”。”

“这让我想到了欧洲十六、七世纪的开普勒。开普勒继承了他的老师第谷留下的大量观测数据，同时又不拘泥于古人的结论，终于推翻了行星轨道是圆形的观念。”

“是的，既能够占有大量数据，又自己亲自测量和计算，不囿于古人的结论和成法，从而才能开创出一片新天地。祖冲之自己是这样说他如何利用古人的文献资料的：

“搜炼古今，博采沈奥。
唐篇夏典，莫不揆量。
周正汉朔，咸加核验。
罄策筹之思，究疏密之辨”。

祖冲之对张衡的天文著作、东汉时期刘洪的《乾象历》和三国时期杨伟的《景初历》都进行了系统研究考察，对前人的观点批判地继承。”

“比如说呢？”

“例如祖冲之看到东汉初年班固所写的《汉书》里提到了六种古代历法：《皇帝历》、《颛顼历》、《夏历》、《殷历》、《周历》和《鲁历》。后人曾以为是这几个朝代当时所采用的历法，而经过祖冲之的推断发现，这些只不过是后人的伪作而已，他说：“古术之书，皆在汉初周末，理不得远”。”

“祖冲之在哪里进行研究呢？”

“祖冲之在青年时代就进入了南北朝时期宋朝设立的华林学省的机构，专门从事天文历法和数学研究。因为工作出色，被朝廷“省赐宅宇车服”。后来祖冲之虽然出任了地方官，但仍然没有中断天文测量和研究。”

“那祖冲之是如何利用手头的影长数据来推算冬至时刻呢？”

“虽然说祖冲之的方法只需要进行三次测量，但是实际上祖冲之每天都坚持观测，并且积累了大量的一手数据，并且他还利用工作上的便利接触到大量的古代观测数据。他平时没事就去琢磨这些数据。”

“那他从中琢磨到了什么吗？”

“就比如关于影长的观测数据吧，他经过长年累月的观察，发现冬至前后影长的数据都与下表类似。比方说有这么一组由于阴天导致观测记录不完整的杆子影长数据：

“你能看出有什么规律吗？” 老师问道。

“让我看看，影长一开始不断增加，突然来了一个阴天，后来又不断减少，又来了一个阴天。总体趋势是这样先增加后减少的。”

“对。”

“既然如此，那么从增加变得减少的拐点应就是冬至日。”

“对，如果假设冬至前后影长增加的速度和减少的速度都是均匀的，冬至前每天增加0.06尺，冬至后每天减少0.06尺。即使有两天是阴天，那么我们也可以估计出十一月初三那天应该是影子最长，是冬至日。”

“嗯，同意！”

“祖冲之手头上积累了很多这样的数据，分析研究这些数据是他从事研究的基础。换句话说，现代科学研究也是如此：大量占有数据，并且深入思考、科学地进行分析才有可能取得突破。”

“嗯。”

“祖冲之经过仔细琢磨得到了两个基本判断：冬至前影长增加，冬至后影长减少，并且基本对称。影子的变化速度是近似均匀的。”

“那根据这两个假设就能够计算出冬至时刻吗？”

“还要加上一点点最基本的几何知识。”

“什么样的几何知识呢？” 学生问道。

“两个相似三角形的对应边长成比例。”

“就这么简单吗？”

“方法是简单，但是能想到这一方法本身并不简单。它需要十年如一日的观测，翻阅几百年的观测数据，还要有恒心、细心和毅力才可以。在祖冲之之前，就已经有了测量冬至时刻的粗糙方法。北朝的周琮指出：“晋、汉历术，多以（至）前后所测晚晷，要取其中。” 但是古人是如何“要取其中”，却没有明确交代，因此具有很大的主观性和随意性，而祖冲之是第一个从严格的数学意义上推导出冬至点的观测方法。”

“那么他是具体怎么测量的呢？”

“祖冲之曾经简要介绍了自己的计算方法，我在手机里查到了南朝《宋史 历律志》里的原文：

“大明五年十月十日影一丈七寸七分半，
十一月二十五日一丈八寸一分太，
二十六日一丈七寸五分强，
折取其中，则中天冬至应在十一月三日。
求其蚤(早)晚，令后二日影相减，则一日差率也，倍之为法;
前二日减，以百刻乘之为实。
以法除实，得冬至加时在夜半后三十一刻，在元嘉历后一日，天数之正也”。”

“是什么意思呢？”

“ 简单翻译一下就是，

• 大明五年十月十日影长为10.775尺，

• 十一月月二十五日影长为10.8175尺（“太”是古代的一个计数符号，是最小单位的3/4），

• 十一月二十六日影长为10.7508尺（“强”也是古代的一个计数符号，是最小单位的1/12）。

• 十月十日的影长落在十一月二十五日和二十六影长之间，所以根据对称原理，冬至日应在十月十日和十一月二十五日之间，也就是十一月三日。

• 令十一月二十五日和二十六日测得的两个影长相减：10.8175-10.7508=0.0667，

• 然后乘以2倍，0.0667 x2=0.1334，这个值称为“法”。

• 再令十月十日和十月二十五的影长相减：10.8175-10.775=0.0425，

• 这个值乘以100（古代每天等分成100刻）得到4.25，称为“实”。

• 用“实”除以“法”：4.25/0.1334=31.86刻，

• 即大明5年的冬至点是在11月3日31刻多一些。”

“让我换算一下，一天是100刻，那么31.86刻就是在一天的三分之一附近，也就是早上8点前一点，大约是现在的早上7点37分26秒。那具体是怎么计算的呢？”

“如果把三天的影长按照时间顺序分别是a，b和c，那么计算的公式就是：

冬至在一天100刻中所处的相对时刻：100(b-a)/2(b-c)。”

“哦，这个计算真简单，加减乘除四则运算就够了。可是这只是具体的计算方法，那背后的原理是什么呢？” 学生问道。

“后人推测祖冲之应该是利用了相似三角形的原理。”

“相似三角形？果然有初中几何知识就够了。”

“嗯。首先，祖冲之在冬至前后选择了A/B/C三天，正午的影长分别为a,b,c。我们可以把这三个影长画在时间轴上（如图），横轴代表日期，而纵轴代表影长。a的影长介于b和c之间，根据对称性，所以冬至日应该在A和B中间的那一天，我们标识为D日零时。也就是说A在冬至前N天，B在冬至后N天，C在冬至后N+1天。有了这三天的数据就可以推算冬至时刻了，这样即使冬至日是阴天也没有关系，因为并不需要在冬至那一天进行测量。退一步讲，即使A/B/C三个测量日期是阴天也没关系，只要把A提前一天，把B和C分别推后一天，我们就可以利用新的数据来计算了。”

“太妙了！”

“对。下面我们就开始验证祖冲之的脚步开始推算了，你准备好了吗？”

“想想都激动，这可是祖冲之一千五百多年前使用的方法！”

祖冲之相似三角形测量冬至时刻

“让我们开始吧”。老师说道。

• 首先，既然冬至日D是AB的中点，所以AD=DB 。
  又因为D是冬至日子夜零时，所以冬至时刻在D右边的E点，且DB=DE+EB。
  这个E点的位置就是我们要找的冬至时刻，换句话说只需求出DE的长度就能确定冬至时刻。

• 接下来，因为冬至前后影长是对称的，而且a介于b和c之间，c<a<b，所以在BC之间必有一个A的对称点A1，其影长a1=a。
  所以可以得到：AE=EA1，即AD+DE=EB+BA1。

• 然后，我们很容易推导出DE刚好是BA1的一半。（推导方法：把AD=DB=DE+EB带入到上式，就得到了AD+DE=DE+EB+DE=EB+BA1，约去左右的EB，得到2DE=BA1）”
  既然我们要求出DE，那么可以先求出BA1,然后减半就可以求得DE了！

“那怎么求BA1的长度呢？”

“关键之处就要找出两个相似三角形。”

“找哪两个相似三角形呢？”

“我们一起看一看。既然是要求BA1，那其中一个三角形肯定和BA1有关，它刚好对应了一个小三角形B'FA'1的底边，而GC'刚好是另一个大三角形B'GC'的底边，GC'的长度是B的正午和C的正午的间隔，刚好是一天100刻（注：古代一天分为100刻，1刻相当于现在14.4分钟）。那么就找到了这两个相似三角形。小三角形的竖直边长b-a，大三角形的竖直边长b-c。”

接下来，根据三角形相似的原理，我们就有：(b-a)/(b-c)＝BA1/BC。
所以，BA1＝(b-a1)·BC/(b-c)。
而BC为25日至26日1昼夜时长100刻，也就是祖冲之原话中的“百刻”，因此BA1＝100(b-a)/(b-c)。
而DE是BA1的一半，所以BA1＝100(b-a)/2(b-c)。

“那祖冲之测量到的冬至时刻与理论值有多大误差呢？”

“误差大约是20刻，这个值远远小于历代的误差。例如东汉四分历测得的公元173年冬至的误差是239刻，晋朝杨伟的景初历测的237年冬至的误差是221刻，王朔之的永和历测的351年冬至时刻误差是102刻，与祖冲之同时代的何承天“立八尺之表，连测十余年”，他的元嘉历在公元442年测的误差是50刻，这已经比前人的误差缩短了一半，而祖冲之的测量误差比何承天又小了一多半。祖冲之的方法首次提出一种明确的数学表达式来计算冬至时刻。”

“那祖冲之为什么把冬至前后三个日子的距离拉得那么大呢？前后有四十多天。”

“道理也很简单。这样就克服了冬至前后影长变化不明显问题。把测量日期提前或推后到冬至前后二十多天，那时影长的日变化量比冬至大很多，超过了六分，更容易测量影长变化。”

“祖冲之的测量和计算方法对现在有什么意义呢？” 学生问道。

“它的意义在于，用简单的测量工具和简单的数学计算得到了非常高的测算精度，这是当前科学研究和工程实践追求的目标。”

“能举个例子吗？”

“如果用一句话来说，就是奥卡姆剃刀原理，又叫“简单有效原理”，即“如无必要，勿增实体”。你看在祖冲之的测量方法里没有任何一步是多余的，你无法再精简了。”

“为什么精简的就好呢？”

“精简的东西人们更容易记住，也更容易流传下来。祖冲之测量冬至时刻所发明的这个方法也被后人所继续使用，元代的郭守敬后来继续改进了测量的圭表，让它的的精度又进一步提高。”

“那郭守敬是如何改进圭表的测量的呢？”

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参考文献：

• 郭蕊，《数学泰斗祖冲之》，吉林出版集团，2011-1. ISBN 9787546341040

• 陈美东. 祖冲之的天文历法工作[J]. 自然辩证法通讯, 2002, 24(2):68-73.

• 陈美东. 论我国古代冬至时刻的测定及郭守敬等人的贡献[J]. 自然科学史研究, 1983, 2(1):51-60.

• 《全齐文》卷十六 祖冲之

• 白寿彝，《中国通史（第二版）》，上海人民出版社 江西教育出版社，2013-7

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