多普勒效应是在1842年由奥地利的物理学家Christian Doppler在现捷克的首都布拉格（Prague）展示的（http://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect ）。随便找一本物理书，都有解释。我听过的一个笑话（大约是关于朗道的），非常好的说明了多普勒频移的现象。据说有一天郎道醉驾闯了红灯，他给警察的解释是，由于他车开得太快，由于多普勒效应，红灯发出的光的频率升高，波长变短，所以看起来就变成绿灯了。当然，我们知道这是扯淡。-那车的速度至少要接近光速的量级。但是鉴于物理学家一贯扯淡，所以我们早就见怪不惊了。

最简单的推导，是认为接收源固定不动，发射源以速度$v$面对接收源运动。如果发射源发出的波的波速为$v_{w}$,波长为$\lambda $,频率为$f$,则：

                  $\lambda f = v_{w}$

计算波长的方式，为相邻同相位波面的间隔。因此在波源运动的情况下，我们非常容易计算（如果物体运动速度比波速慢）在接收处观察到的波的新的波长 $\lambda _{n}$：

                  $\lambda _{n}=\lambda-v/f=\lambda-v\lambda/v_{w}=\lambda (v_{w}-v)/v_{w} $

所以，其新的频率$ f_{n}$为

                  $ f_{n}=v_{w}/\lambda_{n}=f v_{w}/(v_{w}-v) $

当$v_{w}$大大大于$v$，则有：

                  $f_{n}=v_{w}/\lambda_{n}=f (1+v/v_{w})$

而对于波源做背离接收器（发射源离物体越来越远）的运动（速度也为$v$）的情况，在坚持波速比物体运动速度快的条件和$v_{w}$大大大于$v$的条件的情况下，有：

                  $f_{n}=v_{w}/\lambda_{n}=f (1-v/v_{w})$

至此我就回答了CY的问题，她认为我上一篇博文公式有误，实际上我坚持了$v_{w}$大大大于$v$的条件。

将$v_{w}$替换为光速C，我们有：

                    $f_{n}=f (1+v/c)$和$f_{n}=f (1-v/c)$

还有另外一个问题，是岳东晓博主认为相对论效应不能忽略。其实这个推导相当简单，我们会发现在飞机运行速度为每秒300米的时候，相对论效应完全可以忽略。现证明如下：

                    考虑相对论效应的公式为(其中$\Theta$是从波源指向接收源的向量和表示波源运动方向的向量之间的夹角)：

                           $f_{n}=\frac{f (1+vcos\Theta/c)}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$

为分析简便计，我们令$x=v/c$,那么很容易计算，x是个非常小的量，大约为$10^{-6}$。因此我们考虑如下展开：

                    $f_{n}=\frac{f (1+xcos\Theta)}{\sqrt{1-x^{2}}}\approx\frac{f (1+x_{0}cos\Theta)}{\sqrt{1-x_{0}^{2}}}+f cos\Theta dx /\sqrt{1-x_{0}^{2}}+ f (1+x_{0}cos\Theta) (1-x_{0}^{2})^{-3/2} x_{0} dx $

带入$x_{0}=0$,那么，$dx$就正好是原来的x，所以上式就是：

                       $f_{n}\approx f(1+cos\Theta x)=f (1+vcos\Theta/c) $

这就忽略了相对论的效应。如果需要验算，大家可以直接带入$v=300m/s$和$c=3\times10^{8} m/s$看看为误差有多大（$\Theta$可以随便带角度试试）。