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与师生谈研究策略9:反行众道,改形换状

已有 7655 次阅读 2012-11-19 10:24 |系统分类:教学心得

学:学生,教:教师,李:李晓榕。

逆向思维

李:不少难题是“顺者亡,逆者昌”。所以,当正向思维遇阻时,就应逆向思维;当原问题难以解决时,不妨求解逆问题;当考虑可能性行不通时,就该考虑不可能性;当直接求解难以奏效时,就应尝试间接求解,即正难则反,顺繁则逆,直穷则曲。很多时候要反过来想想,比如求证要“两边夹”:两边往中间推;假设命题不对——反证法。举个例子。大大小小的数学家们试图证明欧氏几何的平行公理,历时两千多年无功而返。罗巴切夫斯基另辟蹊径,用反证法,假设该公理不成立,试图由此推出矛盾。然而,事与愿违,他无法得到矛盾,几乎也要铩羽而归。这时反证法的妙处凸显而出:既然不矛盾,说明该公理并不一定成立。因此,可以有平行公理不成立的几何。结果他因祸得福,在乌有中创造了一个崭新的世界——罗氏非欧几何。面对一个涉及无穷的问题,往往考虑其逆命题——一个有限问题更有效。
   谜题的求解往往有赖于逆向思维。解谜题不能顺着解,从一开始就要倒着解,如果顺着容易解,就不是谜了。我就是教我的小孩这么解谜题的。一个难题不就是一个谜吗?如果很多人解不了,就应有意识地反其道而解之。这种理性认识对科研很有好处。所以,对于一个难题来说,

智者始于终点,蠢人终于始点

(A wise man begins in theend, a fool ends in the beginning.)比如玩走迷宫,从出口开始倒退往往比从入口开始前进容易得多。迷宫的设计假设人们是从入口开始的,所以正向前进时必定有很多死路,而由出口倒退路径往往是唯一的。当然,专门对付聪明人的迷宫可能会让由出口倒退的路径也有很多死胡同。要学着从终点出发。有人向大数学家雅克比取科研之经,他答了句名言:一贯反其道而行之。(You must always invert.)这是经验之谈。大数学家勒让德(Legendre)研究椭圆积分,毕四十年之功于一役,写成一本专著,但结果非常繁复。(注意,高度复杂的必错无疑!)他还自认为贡献堪与布里格斯(HenryBriggs)的对数表媲美。阿贝尔(NielsAbel)和雅克比初生牛犊不怕虎,一上手就另辟蹊径,逆着走,取得了椭圆函数的重大突破和丰硕成果。“始驾马者反之,车在马前。”(《礼记·学记》)勒让德的椭圆积分就像马推车,笨拙得很,而阿贝尔和雅克比将问题兜了个底朝天,他们的椭圆函数正像马拉车,方便多了。

教:大部分人都有思维定势,您是说要打破传统,逆着做。

李:对。非传统种类繁多,打破思维定势还有多种方式。比如转换思维角度,从尽可能多的方面或新视角看问题,这样更能看清关系、利弊,可能会茅塞顿开。要有一种理性的认识,另辟蹊径,反其道而行之。举个例子。我研究在任意有色噪声下的最优线性滤波,一般都是由批处理滤波推出递推滤波,这很自然,但十分繁难,因此卡了很长时间。有一天突然醒悟,此路不通,为什么不直接在所有递推滤波中求出最优的?结果问题迎刃而解,还得到了一些重要副产品——可递推性概念以及批处理滤波与递推滤波等价的充要条件。我想起一道试题,据说某个大公司招聘员工时用过。在一个雨夜,你这位未婚小伙子驾车驶过一个车站,见到三人在等车:一位是急症病人,急需去医院;一位是对你有过救命之恩的医生,你很想报答;一位是你心仪已久的姑娘,对你有好感,你很想结识,但苦无机会。末班车已去,而你的车只能搭载一人。你该载谁?

教:这就看你的道德水平了。我觉得该载病人。救人一命,胜造七级浮屠。

学:能不能开到附近,求其他人帮忙,或者和姑娘一块去拦截其他车?如果有其他人帮忙,我当然载姑娘咯。

李:为啥一定要你来载人?理想的答案是三全其美,关键是逆向思维,重起炉灶:让医生载病人去医院,你留下陪姑娘。如果你这么聪明而有创意,很可能会得到姑娘的芳心

教:逆向思维,我感觉就是要与别人不同,从另外一个方向去看待问题,去解决它。

李:逆向思维可以说是另辟蹊径中常用的一种,但另辟蹊径、别出心裁不一定都是逆向思维。逆向思维在科研中的作用比在日常生活中大得多。为什么呢?我觉得主要是因为科研问题大都是执果探因,所以是反问题、逆问题。这也正是科研中反向推理往往比正向推理更有效的原因。执果探因往往比由因推果难得多,一般有无穷多解,而且解不连续依赖于输入,是所谓的“不适定”(ill-posed)问题,是当之无愧的难题、谜题。所以,逆向思维在此大有作为。求解科学问题与破案可有一比,都是一个反向难题,——破案是由犯罪结果探究犯罪动机、行为等。所以,逆向思维也是侦探破案的看家本领。柯南·道尔笔下的福尔摩斯在《A Study in Scarlet》(《血字的研究》)中说:在解决这类问题时,至关重要的是会反向推理。这个本领很有用,也很容易掌握,但人们对此缺乏训练。(In solving a problem of this sort, the grand thing is to be able toreason backward. That is a very useful accomplishment, and a very easy one, butpeople do not practice it much.)人们习惯于直接走向目的,也就是正向思维,而不是反向从目的地走回来。正向思维往往更易理解,反向思维多半更有成效。所以不少科研成果都是反向得到,正向叙述。这可能误导人们错认为正向思维比它实际上更强大而常用。注意,研究者发现问题和解决问题的路径方法,一般不同于他们表述这些发现和解法的路径方法。

学:面对一个具体问题,到底怎么逆向思维,还是不太清楚。

李:具体问题要具体处理,我们只能谈这种方法的思想,提醒在遇到难题时不要忘了这一套,不可能给一个一劳永逸的通用实现办法。关于思想,上面已经说了不少,再说一个故事。北宋有两个皇亲国戚分财产,都认为自己分得少,对方分得多,闹得满城风雨。皇帝派大臣张齐贤处理。张齐贤让他们把意见写下来并画押,随后将他们所分的财产对换,这样他们就哑口无言了,因为都得到了自认为多的那一份了。张齐贤就这样出奇制胜,明智地了断了“清官难断的家务事”。这可以说是一种逆向思维,就是在假设某些结果成立的前提下,设法解决问题。在这个例子中,就是假设他们对所分财产的抱怨都是对的。

问题转化

李:另一种非常常用的方法是问题转化,又称化归。其本质和关键在于寻找联结点, 将问题转化成容易的形式容易的形式往往是标准的、简单的、特殊的或者熟悉的形式。电路分析中常用的等效电路就是一例。波利亚建议:想方设法,不断尝试变换问题,直至可解或找到有用的东西。

教:这个我们多少都知道一些,不过很零星,毫无系统性可言。

李:常见的有化新为旧,化难为易,化变为定,化动为静,化繁为简,化异为同,化隐为显,化大为小,化一般为特殊,等等。要寻找未知与已知之间的联结点,遇新思陈,变生为熟,以简驭繁。比如,棋手要牢记不少残局,把棋局往有利于己方的残局上靠。这些残局就是问题的熟悉形式。不少平面几何问题很难求解,解析几何将它们转换为代数问题,用代数方法求解,它是数学史上的一大丰碑,是笛卡尔发明的,“业余数学之王”费尔马同时也独立得到了。这是一个化难为易的例子。笛卡尔后来提出一个“万能方法”,归根结底就是转化:把所有问题都转化为数学问题,把所有数学问题都转化为代数问题,把所有代数问题都转化为方程求根问题。虽然这并非万能,但在他那个时代已经很深刻了。常常把新的问题转化为旧的、熟悉的,把动态转化为静态,以静驭动,把变量转化为常量。微积分是变量的数学,其根本是极限问题,我认为至今尚未彻底解决,这是一个长期困扰数学界的难题,是所谓“数学的第二次危机”的核心。伯克利大主教所说的臭名昭著的“逝去量的幽灵”(ghosts of departed quantities)就是讽刺无穷小这个概念的。直到魏尔斯特拉斯提出ε-δ语言,“严谨”的极限概念才得以建立,渡过危机。回忆一下当时学的时候,这套语言容易理解么?

教:不容易,特别是其中的“充分小”部分。

李:极限是一种动态过程,要对之加以静态描述,寓动于静,用有限情形的“趋势”来定义无穷过程的终极,所以需要借用涵盖广泛却不够明确的“充分小”概念,因而不好理解。既想简洁,又要普适,还求严谨,所以只好牺牲直观和浅易。

教:其实,不用这套语言,我们也可以理解极限概念。

李:但是,严谨旨在避免理解因人而异。数学追求所有人的理解都一致,不能你理解为A,他理解为B。但是,想用静态语言来严谨地描述动态过程,不可能完美。很难理解,就是缺陷。在标准分析中,无穷小是极限为零的变量,在非标准分析中,无穷小是一个开邻域空间,它不为零但小于任何确定的有限量。对于无穷小和极限,人们的认识还很有限,虽然ε-δ语言为极限提供了一种形式化的描述。

教:对于我们来说,这些精确定义的唯一用处是做证明题的时候套上去。

李:不要小看这套语言。有人说,能否真正掌握这套语言,是成为数学家的一大障碍。绝大多数人终身无法真正逾越这一障碍。数学家PaulHalmos说,他记得清清楚楚,有一天下午他在一个教室的黑板前与某人正在交谈,突然理解了这套语言。那个下午,他成了一名数学家,此前他不理解极限,觉得微积分不好学。说穿了,数学不过是一种追求简洁而又尽可能无歧义的语言。伽利略说,上帝正是用这一语言写出自然之书的。
   言归正传。化归的一大方法是所谓转换-反演法。它先把问题转化成另一种形式,求解后再转化回原形式。这里,应首先尝试各种变换,如坐标变换、积分变换、约简变换、等效变换、拓扑变换,等等。转换往往还要反演,做变换时还要考虑逆变换。解方程中常用的变量替代法就是一种化归方法。信号处理中的傅里叶变换法,从时域到频域,在频域中处理,然后再回到时域,是另一例。注意,转换无需等效或可逆。如果转换后的形式更强、更一般,而且求解成功,则问题得到彻底解决,但应注意有可能违背前面所说的不引入更难子问题的法则。如果转换后的更弱,则问题得到局部解决,这与前面所说的特殊化方法有相通之处,这时最好设法补偿。还有,在数学上不等效的转换,就实际应用而言仍可能等价。我就在研究中多次遇到这种情况。转化包括把问题内部不熟悉的部分变成熟悉的。另外,也可认为重新描述问题是一种问题转化,关键是:对实际应用而言,新旧描述等价或新的更好。一个问题实在解决不了,就解决它的一个相似或相关的问题、一个更一般或更特殊的问题。

学:转化的关键在哪里?

李:关键在于把问题转化为熟悉的、容易的形式。比如,傅里叶变换把时域中的卷积变成频域中的乘积,大为简易。一个常用方法是回归本源,由此出发,考虑各种表现形式,选最有利于求解的形式。这也可以说是一种重起炉灶。溯源求本,前面已谈了不少。从不同的角度来看一个问题、来表述它,也是一种问题转化。此外,还要特别注意不变性。任何规律都是关于某种不变性的,否则就不成其为规律。万变不离其宗,不变性就是“宗”。要找准、抓住这个宗,万事万物都有某种不变性。各种守恒定律就是例子,它们指出不变量。比如,能量守恒定律说,能量就是这个不变的“宗”。还有一种方法与问题转化密切相关但不完全相同,就是不求解原问题,而求解一个相关或辅助的问题,其求解方法或结果可以启发或有助于原问题的求解。


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27:科学之弊总结


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5:得题之关键                                                  6:如何应对新潮

7:选题四建议                                                  8:总结:选题好比找对象


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3:人人信之而善忘的黄金法则                                    4:孤胆方是英雄,独创才有真才

5:大道至简,科学之魄                                          6:弃繁就简

7:以特制胜                                                    8:综括

9:反行众道,改形换状                                          10:迷雾中的灯塔

11:技穷时的上策                                               12:驾驭时间之术1

13:驾驭时间之术2                                              14:保质增产之法

15:类比、联想、猜测、推证                                     16:评估

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3:增加深度的窍门2                                             4:增加深度的窍门3

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7:增加深度的窍门6                                             8:如何培养直觉和想象力?

9:基础不好,死路一条?                                        10:阅读策略1

11:阅读策略2                                                  12:博览之术

13:增强记忆1                                                  14:增强记忆2

15:如何听讲                                                   16:最佳捷径


与师生谈科研输出:

1:论文写作五要点                                              2:论文的结构、条理和语言

3:标题、摘要、引言、结论                                      4:作学术报告四建议

5:与编审人员打交道


与师生谈科研道德:

1:何谓弄虚作假                                                2:何谓剽窃?

3:何谓自我剽窃?                                              4:版权

5:谁该当作者?                                                6:署名顺序怎么定?

7:其他学术不当行为                                            8:总结



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