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科普自行车轮之神奇 精选

已有 10079 次阅读 2016-8-1 08:38 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

自行车拐弯时,车身倾斜可以不倒。这个现象大家大概都知道,其原理很多人可能在书上看过。今天在网上看到了一个视频,把相关的物理展示得更为明显,更令人感到神奇。把自行车轮子转动起来,达到相当高的转速,然后用一根绳子吊这自行车轴的一端,转动的轮子居然保持了横在空中重心悬空。如果轮子不是转动的,结果我们都知道,轮子会倒翻过去,为什么转动的轮子能这样悬着呢?(点击查看视频


gyro-.jpg

上图中,如果把车轴与辐条作为一个系统,以栓绳子那端为中心,它受到了车轮重力产生的力矩。但车轴-辐条系统上的总力矩显然是零,否则没法横着而会倒下。那么这个抵消重力力矩的反向力矩怎么来的呢?对于上述问题,物理课本里的解释用到角动量、力矩等概念。轮子如上图这样悬着,重力对系统产生的力矩按右手法则计算,方向是水平向外,轮子角动量是水平向左,力矩使轮子转轴在水平面上进动,而不是倒下。我们说,对于这个车轮,重力产生的力矩使其角动量方向不断变化。这是一个课本的说明。但这个说明却没有直观地解释车轴-辐条上的力矩是怎么抵消的。在网上看到有人在讨论这个问题,大家都觉得费解。对此,我之前也没有仔细思考过。下面我试图对此进行直观分析,假定我不知道角动量,只具备初中物理(也就是知道向心力、与力矩的平衡),怎么解释?

为了简化问题起见,我把轮子的轮圈换成四个质量为 m 的质点。如下图,轮子半径为 R,轴长 为L。

gyro-model.jpg

从 O点计算,车轴-辐条系统受到重力产生的力矩为  4 mg L ,方向是使轮子倒下。现在我们考虑自转+进动的轮子,从O看以角速度为 $\omega$ 逆时针转动;同时从上面朝下看,车轴在以 角速度 $\Omega$ 逆时针在水平面转动。四个质点正好处于图中的位置。现在我们用牛顿第二定律看看情况如何。

从上面朝下看,球1的速度是 $\omega R + \Omega L$ ,球3 的速度却是 $-\omega R + \Omega L$ ,方向水平。球2、球4的速度都是 $\Omega R$ ,方向垂直。根据牛顿第二定律,球1,球3绕绳子的向心力分别是


$F_{1} = m \frac{(\omega R + \Omega L)^2}{L}$

$F_{3} = m \frac{(\omega R - \Omega L)^2}{L}$

小球受到的向心力来自辐条,小球对辐条的反作用力大小相等方向相反。由于球1与球3的向心力不同,其反作用力产生的力矩无法抵消,其总力矩为:

$\tau = R F_{1} - R F_{3} = \frac {mR}{L} \left[ (\omega R + \Omega L)^2 - (\omega R - \Omega L)^2 \right]\\ = 4mR^2 \omega\hspace{1mm} \Omega$

很好,我们算出了轮子进动时小球对车轴-辐条系统的力矩。为了是轮子悬着,我们要求车轴-辐条系统上的总力矩为零
$4mg L + 4mR^2 \omega\hspace{1mm} \Omega=0$

由此解出:

$\Omega= - \frac{gL}{R^2\omega}$

前面这个负号说明进动方向从上面看应该是顺时针的。上述结果说明,如果整个系统绕绳子转动,可以产生一个力矩抵消重力的力矩,而且轮圈自转越快,这个整体转动需要的速度越小。有了这个简单的物理图像,我们可以对轮圈进行计算在进动时小球反作用力产生的力矩,具体的计算需要把轮圈切成小块然后求和,我列在文末注一。

至此,我们用牛顿定律与初中力学概念找出了轮子不倒的答案:当车轴在水平面转动时(进动),由于轮子上部的速度跟下部的速度相反,轮子整体进动时,上下部分的水平速度一个相加、一个相减,因而大小不同,向心力也不同,这样它们在辐条上的反作用力就产生了一个力矩,在适当的进动角速度下,这个力矩可以抵消重力的力矩,而使轮子能够重心悬空。

当然,以上结果跟用角动量方程得出的完全一致。由上面的推导也可以看出角动量概念的巧妙。从数学上角动量方程只是在牛顿方程两侧用位置向量叉乘,但把方程一叠加消去了所有内力的贡献。对于像上述轮子的问题,内力相当复杂,如果直接用牛顿定律分析相对麻烦,用角动量则很简单。



注一:轮圈进动时力矩的计算

设轮圈单位长度的质量为 lambda, 我们计算其总力矩
$\tau = \int_0^{2\pi} R \sin\theta \hspace{1mm} \lambda R d\theta \frac{(\omega R \sin\theta + \Omega L)^2}{L} \\ = 2\pi\lambda R R^2 \omega \Omega = MR^2\omega \hspace{1mm}\Omega$


以上其中M为轮圈质量。上面的计算中很明显,正弦的三次方与一次方积分结果是零,只剩那个交叉项。整个结果与之前的完全一致。更一般的情况当然可以更一般的计算。牛顿第二定律  F = dp/dt ,力等于动量的变化率。两边用位置向量叉乘,则是力矩等于角动量的变化率。从这里可以看出角动量概念的妙处--直接把内力的各种贡献抵消了。





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