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自行车轮神奇之动力

已有 5656 次阅读 2016-8-2 08:50 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

在《科普自行车轮之神奇》中,我试图解释一个实验:把转动的自行车车轴一端用绳子吊起来,车轮不会倒下,而是会横悬着在水平面进动(也就是图中绕着绳子打转)。我的博文不用角动量,只用向心力解释了为什么这个情况下力矩平衡:因为轮子的进动,轮子上半部分与下半部分的速度不同,因而轮子上部的向心力与下部的向心力不同,如果进动角速度达到某个值,那么这个向心力差对应的力矩正好抵消重力的力矩。点击查看视频) 至此,我们解释了为什么可能平衡。但读者很快就问,轮子开始时并没有进动,只是自转,挂上去后,就开始进动了。这又怎么解释?使什么力量驱使轮子从进动为零,迅速达到一个进动角速度呢。有细心的读者发现,轮子挂上去后,轴没有保持水平,而是因为损耗开始逐渐向下倾斜。

假设我们把一个自转的轮子如下图这样挂上去,轮子最初肯定会开始倾斜、跌倒。但是一旦开始往下倒,根据我们前面的分析,如果把轮子看成垂直的两半,左边一半跟右边一半的速度不同,这就会导致一个向心力的差,不同的是这个差作用在轮子的左右两边,导致轮轴开始在水平方向转动。当达到一定的进动角速度之后,如果能够跟重力力矩平衡,就不会继续下跌了。下面我计算一下轴倾角 $\phi$ 与进动角速度 $\Omega$ 的关系。


gyro-.jpggyro2.jpg


$I_{p} \frac{d\Omega}{dt} = I_{c} \hspace{1mm} \omega \hspace{1mm} \frac{d\phi}{dt}$


以上 I_p 为轮子绕绳子(进动)的转动惯量, I_c为轮子绕车轴的转动惯量。因此

$\Omega = \frac{I_c \omega}{I_p} \int_{\phi_0}^{\phi_{p} } d\phi = \frac{I_c \omega}{I_p} (\phi_{p}-\phi_0)$


$\phi_p$ 是轮子在挂上去之后某个时刻的倾角(当然这是假定对应的进动角速度足够平衡), $\phi_0$ 是轮子刚挂上时的倾角(我们假定倾角比较小)(其实上面的结果就是角动量守恒)。这个关系说明,轮子获得的进动角速度与倾角变化成正比,也与轮子的转动惯量与自转角速度成正比。如果轮子转的足够快,那么跌落较小的倾角就能产生较大的进动角速度。当进动角速度达到一定数值,如果其变化率能够与重力产生的力矩平衡,就不会继续下跌了。否则,还是会倒下。这就解释了为什么我们需要把轮子高速旋转。

把上面的式子换个边,轮子挂上去后 倾角变化为:

$\phi_{p}-\phi_0= \frac{I_p \Omega }{ I_c \omega}$

对于平衡的情况,进动角速度 $\Omega$ 可以用前篇博文中的方法计算。可想而知,假如这个公式算出来需要的倾角变化大于90度,轮子也就倒了。

至此,我们算是基本解决了轮子挂上去之后开始进动的过程问题。但是还有一个问题,如果轮子跌过头会怎么样呢?(就是说轮子跌到一个角度、产生的进动足以平衡,但还会继续下跌一点)这个问题留给读者们解决好了。


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