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自然单位与量纲分析

已有 4217 次阅读 2016-9-9 09:36 |系统分类:科普集锦

有次在网上跟一些科学爱好者讨论问题,我写下 $E^2 = p^2 +m^2$ 这样的式子(其中 E是能量,p 为动量, m 为质量),立刻遭到几位硕士或以上学历的网友的强烈质疑,说你这物理怎么学的,单位都对不上?我说上面式子是相对论能量公式,但光速 c =1,简化了。大家反对更为激烈,光速等于1?  


假设你在街上问一个小朋友离地铁站有多远,对方回答:“五分钟”。你应该不会说:小朋友,我问距离,你怎么回答时间呢?你会明白走五分钟就到了。当然,精确算起来到底多久取决于步行速度,但是有一个概念是清楚的:如果有一个速度标准,距离可以用时间来表达,距离的单位跟时间的单位相同。在我们这个例子里,距离是5分钟,步行时间呢,也是五分钟。步行速度是: v = 5分钟/5分钟 = 1  。注意上下的单位抵消了,速度是一个纯粹的数字。

当然了,用步行速度作为标准不是个好主意,个人走路速度差别很大。用声速如何?也不是那么好,声速与压强、密度有关,也是变的。但自然界有个速度是不变的,那就是真空里的光速 c 。简单起见,我们令 c =1 。当然,你也可以令 c = 5 ,不过那就有点自找麻烦了。至此为止,我们上面的相对论能量公式清楚了。有了 c =1 ,那么其他的速度也可以表达了,比如10米每秒的汽车速度用这个单位是 $3.3 \times 10^{-7}$

但马上有一个问题,光速 c =1 不错,但我们还得有个时间单位才能表达时间与距离。时间如果用秒为单位,那么地球月球之间的距离大概是1秒多。

我们在量子力学里经常要用到一个常数叫普朗克常数,它把光子的能量与角频率联系起来: $E = \hbar \omega$ 。公式里老是要写这个常数也不方便,干脆也令它为 1,也就是 $\hbar=1$ 。这样一来,光子能量公式成了 $E=\omega$ , 非常简洁。

现在我们来看看这个公式的单位。左边是能量,右边是角频率,也就是 $2\pi$ 乘以频率,而频率是单位时间内的来回次数,其量纲是 “1/时间”。可见令 $\hbar=1$ 的结果是能量跟时间的单位是倒的,也就是说我们可以用能量的倒数来表示时间。而前面我们令 c=1 之后,时间跟距离的单位相同。这么一来,我们可以用“1/单位能量” 作为时间与距离的单位。另外, $E=mc^2=m$ ,可见质量与能量单位相同。类似的,动量单位也与能量单位相同。角动量的单位呢? r x p, 距离单位是1/单位能量,p 单位是单位能量。角动量没有单位,是纯粹数字。其实这也可以从 $\hbar=1$ 直接看出来,普朗克常数的单位与角动量单位相同(也是作用量单位)。加速度的单位呢? 它是 距离除以时间的平方,因此跟能量单位相同。

看来, $\hbar=c=1$ 之后,我们只要有个能量单位就足够了,其他量都用能量表示。能量单位可以用焦耳,电子伏等等,在粒子物理里能量单位一般用 GeV,也就是10亿个电子伏。长度单位就是  1/GeV,时间也是这个单位 1/GeV 。那么, 1/GeV 的长度如果换成我们常用的米是多少呢?

要算出这个长度,先得把 1/GeV  换算成普通用秒表示的时间,再乘以光速。在国际单位制里 $\hbar = 1.0545718 10^{-34}" style="font-family:宋体, simsun;line-height:36px;background-color:#ffffff;$ (焦耳*秒),1 GeV 为 $1.6021\times 10^{-10}$ (焦耳),得出其对应的时间是 $\frac{1.0545718 10^{-34}}{1.6021 \times 10^{-10}} = 6.58 \times 10^{-25}$ (秒)。因此 1GeV 的长度是 $3 \times 10^8 \times 6.58 \times 10^{-25} = 1.97 \times 10^{-16}$ (米)。

c=1 可以说是相对论的自然单位,hbar =1 是量子力学的自然单位。热力学与统计物理里还有一个常数:玻尔兹曼常数 $k_B$ ,它把微观运动与宏观温度联系起来,我们同样把这个玻尔兹曼常数设为1. 这样熵的公式就成了 $S=\ln \Omega$ , 其中 $\Omega$ 为微观态数。由于 $k_B T$

单位是能量,可见温度的单位也是能量,但是 用 GeV 作为单位对应的温度非常高,我们一般用电子伏 eV 作为温度单位。一个电子伏对应的温度如果换成开尔文是多少,大家可以自己练习。


现在我们试试量纲分析。简单的例子,单摆的周期 T与长度 L 与重力加速度 g 的关系。T 的量纲是 [1/E], L 是 [1/E ], g 是 [E]。所以 $T \propto \sqrt{L/g}$
这看起来不错。但由于速度成了无量纲数,用自然单位就失去了很多量纲分析的信息。



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