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小波变换定义之争鸣-------数据分析漫谈5

已有 3616 次阅读 2016-3-31 12:22 |个人分类:科研随笔|系统分类:科研笔记

   小波变换已经诞生四十多年了,其应用遍及数理化天地生各个领域,不胜红火。按理,经过多年洗礼,小波变换定义应该早就固化安定下来了。然而,最近这些年,小波变换在定义上又起波澜,主要是由于自己给出了小波变换的新定义。而且,最近我又发现了一组新的小波变换反演公式,从新公式的视角来审视原始小波变换定义,便觉得其有些不堪了。至于为何不堪,后文再述。

        冲动之下,我把wiki百科中的连续小波变换(Continuous wavelet transform)词条从定义到逆变换都改换一新,觉得这样很满意。然而,不久,有人又倔强地将小波变换的定义改回到原始的形式。只是新的反演公式未有人敢改动,还是好好地摆在那里。

        这件事引起我的一些思索。看来人们对原始小波变换定义还是情有独钟的,原因在于:

        i)人们对于原始性的喜爱是无法用语言来形容的;

        ii)原始小波变换可以与传统的能量概念联系于一道;

        iii)原始小波变换是流行已久的多分辨率分析(MRA)的基础。

        考虑到上述三点因素,我觉得自己应该在小波变换定义上做出妥协,这当然不是说自己不再坚持新的小波变换定义。恰恰相反,自己对于新定义依然自信,这种自信建立在如下事实之上:

        i)原始小波变换定义在确定信号频率上有偏差,因此其在时频分析应用时是有缺陷的,而新定义则完全克服了这一缺陷。

        ii)若采用原始小波变换定义,则很难写出新的反演公式,这正是原始小波变换定义不堪的地方。若采用新的小波变换定义,则可以很朴素地写出新的反演公式。而新的反演公式清晰地指示出新的小波定义,新的小波不必满足传统小波的容许性条件,这大大简化了小波的构造,并扩展了小波的外延,这对于小波领域而言,是一场革新甚至革命。

        现在,我认为小波变换应有两种定义,这两种定义分别面向不同的应用。

        第一种定义也就是原始小波变换定义,它是面向多分辨率分析应用的,即,对于信号f(t),其第一种小波变换定义为

$Wf(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)\bar{\psi }(\frac{t-b}{a})dt, a> 0,b\epsilon R$    (1)

其中 $\psi (t)$ 是基本小波,上划线表示共轭。

   第二种定义也就是新的小波变换定义,它是面向时频分析应用的,即,对于信号 $f(t)$ ,其第二种小波变换定义为

$Wf(a,b)=\frac{1}{\left | a \right |} \int_{-\infty }^{+\infty }f(t)\bar{\psi }(\frac{t-b}{a})dt, a,b\epsilon R$ (2)

   两种小波变换定义(1)和(2)有明显的差异:首先,(1)中尺度a是正实数而(2)中的a是实数;其次,(1)中用1/a1/2而(2)中用1/|a|。这两点差异使得两种小波变换定义面向不同的应用。    

   这两种小波变换定义的出现是经过争鸣尘埃落定后的一种妥协。然而,在我内心深处,仍然认为第二种小波变换定义(2)要更为完美,例如其有着很美和简洁的两类反演公式:

  $f(t)=\frac{1}{c_{\psi }}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^{2}}Wf(a,b)\psi (\frac{t-b}{a})dadb, t\epsilon R" style="font-family:宋体;text-align:center;$ (3)


其中, $\psi (t)$ 是容许小波, $c_{\psi }$ 是容许常数;

$f(t)=\frac{\left | \beta \right |}{2\pi \bar{\hat{\\\psi } }(\beta )}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^{2}}Wf(a,b)exp(i\beta \frac{t-b}{a})dadb, t\epsilon R$ (4)

其中 $\beta$ 为非零常数,帽子"^"表示Fourier变换, $\psi(t)$ 是分析小波(不必是容许小波)。而第一种小波变换定义(1)的反演公式不仅难以写出而且即便写出也不简洁。只是考虑到历史的原因,才有了上述的妥协,也许只是暂时的妥协。

        我相信,随着时光的流逝,第二种小波变换定义(2)会被越来越多的人所认可。

        值得一提的是:(4)是最近才被发现的小波变换反演公式,它是那么美!











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