小波变换已经诞生四十多年了,其应用遍及数理化天地生各个领域,不胜红火。按理，经过多年洗礼，小波变换定义应该早就固化安定下来了。然而，最近这些年，小波变换在定义上又起波澜，主要是由于自己给出了小波变换的新定义。而且，最近我又发现了一组新的小波变换反演公式，从新公式的视角来审视原始小波变换定义，便觉得其有些不堪了。至于为何不堪，后文再述。

        冲动之下，我把wiki百科中的连续小波变换（Continuous wavelet transform）词条从定义到逆变换都改换一新，觉得这样很满意。然而，不久，有人又倔强地将小波变换的定义改回到原始的形式。只是新的反演公式未有人敢改动，还是好好地摆在那里。

        这件事引起我的一些思索。看来人们对原始小波变换定义还是情有独钟的，原因在于：

        i）人们对于原始性的喜爱是无法用语言来形容的；

        ii）原始小波变换可以与传统的能量概念联系于一道；

        iii）原始小波变换是流行已久的多分辨率分析（MRA）的基础。

        考虑到上述三点因素，我觉得自己应该在小波变换定义上做出妥协，这当然不是说自己不再坚持新的小波变换定义。恰恰相反，自己对于新定义依然自信，这种自信建立在如下事实之上：

        i）原始小波变换定义在确定信号频率上有偏差，因此其在时频分析应用时是有缺陷的，而新定义则完全克服了这一缺陷。

        ii）若采用原始小波变换定义，则很难写出新的反演公式，这正是原始小波变换定义不堪的地方。若采用新的小波变换定义，则可以很朴素地写出新的反演公式。而新的反演公式清晰地指示出新的小波定义，新的小波不必满足传统小波的容许性条件，这大大简化了小波的构造，并扩展了小波的外延，这对于小波领域而言，是一场革新甚至革命。

        现在，我认为小波变换应有两种定义，这两种定义分别面向不同的应用。

        第一种定义也就是原始小波变换定义，它是面向多分辨率分析应用的，即，对于信号f(t)，其第一种小波变换定义为

$Wf(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)\bar{\psi }(\frac{t-b}{a})dt, a> 0,b\epsilon R$    (1)

其中 $\psi (t)$ 是基本小波，上划线表示共轭。

   第二种定义也就是新的小波变换定义，它是面向时频分析应用的，即，对于信号 $f(t)$ ，其第二种小波变换定义为

$Wf(a,b)=\frac{1}{\left | a \right |} \int_{-\infty }^{+\infty }f(t)\bar{\psi }(\frac{t-b}{a})dt, a,b\epsilon R$ (2)

   两种小波变换定义（1）和（2）有明显的差异：首先，（1）中尺度a是正实数而（2）中的a是实数；其次，（1）中用1/a^1/2而（2）中用1/|a|。这两点差异使得两种小波变换定义面向不同的应用。    

   这两种小波变换定义的出现是经过争鸣尘埃落定后的一种妥协。然而，在我内心深处，仍然认为第二种小波变换定义（2）要更为完美，例如其有着很美和简洁的两类反演公式：

  $f(t)=\frac{1}{c_{\psi }}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^{2}}Wf(a,b)\psi (\frac{t-b}{a})dadb, t\epsilon R" style="font-family:宋体;text-align:center;$ (3)

其中, $\psi (t)$ 是容许小波， $c_{\psi }$ 是容许常数；

$f(t)=\frac{\left | \beta \right |}{2\pi \bar{\hat{\\\psi } }(\beta )}\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{a^{2}}Wf(a,b)exp(i\beta \frac{t-b}{a})dadb, t\epsilon R$ (4)

其中 $\beta$ 为非零常数，帽子"^"表示Fourier变换， $\psi(t)$ 是分析小波（不必是容许小波）。而第一种小波变换定义（1）的反演公式不仅难以写出而且即便写出也不简洁。只是考虑到历史的原因，才有了上述的妥协，也许只是暂时的妥协。

        我相信，随着时光的流逝，第二种小波变换定义（2）会被越来越多的人所认可。

        值得一提的是：（4）是最近才被发现的小波变换反演公式，它是那么美！