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一个数学猜想

已有 2095 次阅读 2015-10-6 11:39 |个人分类:科研随笔|系统分类:科研笔记|关键词:style,数学| 数学, style

首先,让我们考虑一个数学问题:假设一个R×R域上的函数 $f(x,y)$ 满足

                        $\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx=constant$                                               (1)

那么, $f(x,y)$ 可以表达为何类形式?当然 $f(x,y)$ 的表达式中应含有 $y$

假设 $g(x)$ R域上的函数,我们容易写出满足(1)的 $f(x,y)$ 的两类表达形式:

i)         $f(x,y)=g(x+y)$                                                          (2)

ii)                                                                     (3)

其中表达式(2)称为加减表达式(其中的加号也可以写为减号),表达式(3)称为乘除表达式(其中的 $x$ 乘以 $y$ 也可以写为 $x$ 除以 $y$ )。

现在,我们问:满足(1)的 $f(x,y)$ 还有其它类型的表达式吗?我们的猜想是没有其它类型的表达式。准确地讲,我们的猜想是:

满足(1)的 $f(x,y)$ 只具有(2)(3)两类表达式。

这个猜想是在对线性时频变换的逆变换的思考中诞生的。加减表达式(2)Gabor变换(或加窗傅里叶变换)存在逆变换的基础;乘除表达式(3)是小波变换存在逆变换的基础。而Gabor变换和小波变换是目前发现的仅有的两类典型线性时频变换。换言之,如果你能写出满足(1)的 $f(x,y)$ 的第三类表达形式,那么你能够发现新的典型线性时频变换,而且该变换拥有逆变换。而我们的猜想否定了这种可能性。

然而,我们无法证明我们的这个猜想,它正默默期待着人们的证明或否定。



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