黑洞揭秘：用数学解释物理（2）

杨义先，教授

北京邮电大学信息安全中心主任

公共大数据国家重点实验室主任

摘要：在文献[1]中，我们几乎用同样一句话，就给出了微观世界几种最玄幻现象的全新解释；本文将仍然再用这几乎同样的一句话，来解释宏观世界中的最玄幻现象：宇宙黑洞、宇宙大爆炸、宇宙第一推动力和宇宙寿命等。看来行侠江湖，只需一招---小李飞刀！

比如，本文将借用微分方程组的现成结果指出：其实早在几十年前，数学家们就已经发现了“黑洞”的普遍存在性，知道了“黑洞”不是洞，并且非常清晰地描述了“黑洞”的霍金吸收和霍金蒸发细节等。但是，很可惜，数学家们却以为自己只是解决了“1阶微分方程组的解轨线分布特性和结点分类”问题。另一方面，其实量子力学的主要创始人玻尔，也早在近百年前，就已发现了一种最微型的“黑洞”；可惜，至今物理学家仍然还在满世界寻找“黑洞”。最可惜的是霍金老先生，他本来应该获诺贝尔奖的，因为他的“黑洞猜想”，早在他自己出生之前，就已被玻尔证实了；结果“诺贝尔奖评审委员会”的专家们，却至今还在“骑驴找驴”。

伙计，您若不信我的胡说八道，现在就可以离开了。当然，我非常希望你能继续拍砖，反正不拍白不拍嘛。

（一）序趣

爱因斯坦教导我们：当科学艰难地登上险峰时，竟谔然发现，神已在那里等着了。

老夫对该说法一直不敢苟同，但直到今天我才相信：还真有这么一尊神，而且还是女神，沉鱼落雁的西施之神！只不过，这尊神的名字叫“数学”。

老纳我本想把西施娶回家，唉，无奈国家没放开二婚政策；但又不忍让她再独守闺房，所以只好到处做媒，给她寻夫家。

其实，早在约一百年前，当玻尔发现电子能级现象时，西施就看上了他，对小伙子猛抛媚眼；可是，这呆子全无感觉，竟然从她面前擦身而过，又披星戴月，继续攀登他的量子力学高峰了。

西施的第二任前男友，可能要算霍金同学了。因为，在过去几十年，霍金对她十分着迷，朝思暮想，竟然全身一动不动地，在她门前等了半个多世纪；可是，她心里却又始终装了个他。最后，好容易有一点心动了，可霍老先生自己又驾鹤西去，前往拜谒上帝之神了。

唉，西施呀，你的缘分到底在哪里呢？但愿我这次真能把你嫁出去，嫁给宏观世界的宇宙学，嫁给微观世界的物理学。

必须事先申明，作为业余段子手，我既不懂数学，更不懂物理；至于霍老前辈等研究的什么“宇宙学”，对我来说，更是“白天不懂夜的黑”。总之，杨傻子我绝没“生产矿泉水”，只是“大自然的搬运工”；只是把数学的“牛头”，试图对上物理的“马嘴”而已。另外，我对所有玄幻之事也绝不感兴趣，只是在“闭关”潜心研究《安全通论》[2]时，偶然发现《黑客管理学》的第6章，其实就是一把“小李飞刀”，于是我随便一甩手，将它插进了物理玄幻的咽喉。

还好，在网络时代，说不说由我，信不信由你。反正领导们正忙着在别处删贴、封号、加墙和跨省，顾不过来管老夫了。

（二）宇宙的数学模型

这个题目好吓人！

可更吓人的是：这个宇宙数学模型，一直就摆在那里半个多世纪了，竟然没人理它！它其实就是文献[4]第三章的公式（3.1），只不过大家都仅把它当成“一般系统的数学描述公式”而已。

为了更加清晰，我们从头开始啰嗦。

据说，宇宙是由相互作用的粒子组成的。至于这些粒子到底是分子、原子、原子核、电子、中子、质子或任何别的什么“鬼子”，对数学家来说都不在乎，反正只要是能够独立运行的基本元素就行了。无论宇宙中的这些粒子数量N有多大，在数学家眼里都只是有限的，所以，可以将宇宙中的全部粒子编号，分别记为x₁,x₂,x₃,…,x_N。在每个时刻t,每个粒子x_i都可用它的三维位置坐标来唯一表示，比如，

x_i(t)=(x_i1(t),x_i2(t),x_i3(t))，i=1,2,…,N

就分别标出了该粒子的三维坐标，我们约定x_i1,x_i2,x_i3分别表示第i号粒子的x-轴、y-轴和z-轴坐标量。换句话说，在t时刻，宇宙的状态就可以由全宇宙的所有粒子的位置状态来表示，它就是如下的一个M=3N维向量（特别提醒：本文中诸如维、点等都是数学术语，并非玄幻的M维物理空间），即，

Y(t)=(y₁(t),y₂(t),…,y_M(t))

=(x₁₁(t),x₁₂(t),x₁₃(t);x₂₁(t),x₂₂(t),x₂₃(t);…;x_N1(t),x_N2(t),x_N3(t))

为了简捷计，我们将该公式括号中的t都统一略去，从而记为

Y=(y₁,y₂,…,y_M)=(x₁₁,x₁₂,x₁₃;x₂₁,x₂₂,x₂₃;…;x_N1,x_N2,x_N3)

又据说，世界是运动着的，所以，在任意t时刻，对任意k=3(i-1)+j，(1≤i≤N,1≤j≤3)，第i个粒子，在其坐标方向j的变化量dx_ij/dt，都取决于当前t时刻所有粒子的状态，即，存在某个函数，记为g_k(.)，使得

dx_ij/dt =g_k(x₁₁,x₁₂,x₁₃;x₂₁,x₂₂,x₂₃;…;x_N1,x_N2,x_N3)

或等价地，用变量y_k,1≤k≤M，可以更简单地表示为

dy_k/dt=g_k(y₁,y₂,…,y_M), k=1,2,…,M

或者用矩阵方式表示为如下自治微分方程组，

dY/dt=G(Y),

其中Y=(y₁,y₂,…,y_M)，G(Y)=(g₁(Y),g₂(Y),…,g_M(Y))^T是M维列函数。该方程组描述了宇宙中所有粒子，随时间变化的运动规律。由于宇宙的运行是连续的，故，可以假设上面的矩阵函数G(Y)是连续的，即，列函数中的每个函数是连续的。

dY/dt=G(Y)便是本文后面要用到的宇宙数学模型，简称宇宙方程。为什么说本节前面的描述，都纯属啰嗦呢？因为，文献[4]早就说过：任何一般的系统都可以表示成这样的一组微分方程组。而宇宙显然也是一种系统，当然它也就可以如上表示。不过，此节的啰嗦也有一点好处，那就是至少说清了各参数的具体含义。

再啰嗦一句：在数学家和物理学家的眼里，大和小的含义天壤之别。比如，宇宙中的粒子个数，对物理学家来说，非常大，简直大得不能再大了；而对数学家来说，这个数M只是区区的有限而已，与经常面对的无穷大相比，小得简直可以忽略不计。反过来，粒子的直径，对物理学家来说，非常小，简直小得不能再小了；而相对于数学家经常处理的、没有直径的“点”来说，粒子又已经比“牛”还大了！

（二）黑洞的数学解释

首先，我们解释一下宇宙方程dY/dt=G(Y)的更具体含义。如果Y=Y(t)是宇宙方程的一组解，那么，Y(t)就给出了宇宙中所有粒子的一套运行轨迹；反过来，如果对某个X(t)，它满足dX/dt≠G(X)，那么，X(t)就不会是宇宙粒子的运行轨迹。

下面就借用微分方程组教材中都有的现成结果，来一一解释相关黑洞现象。图省事的读者，也可阅读[3]的第6章。

如果有M维空间中的某个点Y^*，使得G(Y^*)≠0（这里0是M维0向量），那么，根据微分方程组的唯一存在性定理，便知：一定存在且只存在一个解轨迹Y=Y(t)，使得dY/dt=G(Y)和Y(t₀)=Y^*。换句话说，只有一条解轨迹经过该点Y^*，而且其邻域内的解轨线也很稀疏，甚至从物理上就根本无法观察到。

如果有M维空间中的某个点Y₀，使得G(Y₀)=0，那么，Y₀就称为宇宙方程dY/dt=G(Y)的一个奇点。数学家们已经发现，只需要做一个平移后，任何奇点Y₀都可以转化为0点或原点。因此，下面就只考虑0奇点的分类，并叙述与其相应的“黑洞”及霍金吸引和霍金蒸发：

1）结点。它是这样的0奇点，见图1，该点的任意邻域内都有无穷多条密集的解轨线，以至于可填满某个数学测度大于0的邻域，于是变得能从物理上可观察。而且，这些解轨线以切线的方式无限逼近于0点，但又永远不重复在0点上。因此，从物理上看过去，结点所对应的“黑洞”，能把其邻域内的所有东西都吸进去；但其实又永远不会碰到0点，可见，“黑洞”并非真正是洞，它的“洞底”也不是“漏的”（这一点在后面其它“黑洞”中也成立，所以，不再重复明示了）。在结点类“黑洞”附近，只有霍金吸引，没有霍金蒸发。

图1：结点类“黑洞”示意图

2）鞍点。它是这样的奇点，见图2，该点的任意邻域内也有无穷多条密集的解轨线，以至于可填满某个数学测度大于0的邻域，于是变得能从物理上可观察。而且，这些解轨线以0点为中心，形成一个与相邻轴线相切于两点的鞍状结构。轨线也永远不重复在0点上。与结点不同的是，从物理上看过去，鞍所对应的“黑洞”，从一条轴上把原点邻域内的所有东西都吸进去，对应于霍金吸引；但是，又沿另一条轴上，把吸进去的东西又给吐出来，对应于霍金蒸发。换句话说，对这样的奇点，从某个方向看过去，是“黑洞”；但从另一个方向看过去，却是“白洞”。我们且称这样的奇点为“黑白洞”吧。

图2，鞍点类“黑洞”、“白洞”示意图

3）退化结点。它是这样的奇点，见图3，该点的任意邻域内也有无穷多条密集的解轨线，以至于可填满某个数学测度大于0的邻域，于是变得能从物理上可观察。而且，这些解轨线要么跨过轴线后，无限逼近于0点（见图3a）；要么跨过轴线后，远离原点(见图3b)。这些轨线也永远不重复在0点上。从物理上看过去，图3a的奇点所对应的“黑洞”，将其邻域中的所有东西都吸进去，即，霍金吸引；而图3b的奇点所对应的便是“白洞”，它好像把其邻域中的所有东西都要吐出来，即，霍金蒸发。提醒一下，你不必担心“霍金蒸发”会“吐你一身”，因为，这也是一个无穷长的过程，即，若能让时间倒流，那么，当时间t→-∞，这些吐出来的东西才会被吸引回去。后面的其它“白洞”也类似，不再重复提醒了。

图3，退化结点类“黑洞”、“白洞”示意图

4）奇结点。它是这样的奇点，见图4，该点的任意邻域内也有无穷多条密集的解轨线，以至于可填满某个数学测度大于0的邻域，于是变得能从物理上可观察。而且，这些解轨线要么直接无限逼近于0点（见图4a）；要么直接远离原点(见图4b)。这些轨线也永远不重复在0点上。从物理上看过去，图4a的奇点所对应的“黑洞”，将其邻域中的所有东西都吸进去，即，霍金吸引；而图4b的奇点所对应的便是“白洞”，它好像把其邻域中的所有东西都吐出来，即，霍金蒸发。

图4：奇结点类“黑洞”、“白洞”示意图

     5）焦点。它是这样的奇点，见图5，该点的任意邻域内也有无穷多条密集的解轨线，以至于可填满某个数学测度大于0的邻域，于是变得能从物理上可观察。而且，这些解轨线以0点为中心，要么螺旋形远离0点（见图5a）；要么螺旋形无限逼近于原点(见图5b)。这些轨线也永远不重复在0点上。从物理上看过去，图5a的奇点所对应的“白洞”，它好像把其邻域中的所有东西都吐出来，即，霍金蒸发；而图5b的奇点所对应的便是“黑洞”，将其邻域中的所有东西都吸进去，即，霍金吸引。

图5：焦点类“黑洞”、“白洞”示意图

6）中心。它是这样的奇点，见图6，其邻域中的所有轨线，都以原点为中心做圆周运动，而且这些圆周线互不相交。因此，它既不吸收，也不吐出邻域内的任何东西，换句话说，它既不是“白洞”，也不是“黑洞”。此处之所以把它也列出来，主要是想表示数学家们的完备性。

图6：中心奇点示意图

至此，我们对宇宙的各种可能“黑洞”和“白洞”的细节进行了归纳。而且，其实数学家们已经发现：对任何系统，都可能有这样的“黑洞”和“白洞”。但是，在真实的宇宙中，“黑洞”到底在哪里呢？由于民航没开通到“黑洞”的航班，所以，我也不知道；即使知道，可能也买不起票，因为太远，远在梦的家乡。

据说，霍金之所以没能获得诺贝尔奖，就是因为大家都认为“黑洞”只是猜想，在现实世界中还没人找到过真正的“黑洞”。情况真的是这样的吗？

欲知后事如何，且听下节分解。

（三）玻尔的遗憾

首先，我们想指出的是，其实在上一节的分析中，我们给出了一个更广泛的结果：即，对任何系统，都可能存在着能吞噬其周围一切东西的“黑洞”，或能把周围的所有东西吐出来的“白洞”；而宇宙也是一个系统，所以，宇宙中当然也就可能存在着这些多种多样的“黑洞”和“白洞”。

我们虽然无法在浩瀚的宇宙中，把某个宇宙“黑洞”给标出来，但是，我们将指出：其实玻尔早在近百年前就已发现了“黑洞”，只不过连他自己在内，谁都不知道而已。

     考虑最小的“宇宙”，即，氢原子。在该“宇宙”中，假定氢原子核已被武林高手“点穴”，永远不能动，而只是那个唯一的电子在围绕氢核运转。设t时刻，该电子的三维坐标分别是x(t),y(t),z(t),那么，仿照上一节宇宙方程的建立过程可知：x随时间t的变化dx/dt,将受到此时电子的位置影响，即，与x,y,z相关；换句话说，存在某个函数f(x,y,z),使得dx/dt=f(x,y,z)。类似地考虑dy/dt和dz/dt，于是，在该氢原子未受外界影响的情况下，可以得到如下微分方程组

dx/dt=f(x,y,z)

dy/dt=g(x,y,z)

dz/dt=h(x,y,z)

其中f(.),g(.),h(.)都是连续函数。若简记X=(x,y,z)和F(x,y,z)= (f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z))，那么，上述微分方程就更可简化为

dX/dt=F(X)

如果该“宇宙”中没有“黑洞”，即，在所有可能的解轨线上，都有F(X)≠0，那么，这些解轨线将均匀地围绕在原子核周围，并且，经过每一个点，都有且只有一条轨线；因此，就不可能出现玻尔观察到的“电子云”（参见文献[1]），或就不会出现电子能级现象。因此，在该“宇宙”中，一定有“黑洞”存在。那么，在氢原子这个“宇宙”中，到底有什么“黑洞”呢？

考虑该“宇宙”中，位于X₀的可能“黑洞”,即，F(X₀)=0。由于此时“宇宙”中只有一个粒子（即，那个转动的电子），因此，该“黑洞”不可能是结点类、退化结点类、奇结点类和焦点类“黑洞”，因为，这个唯一的电子若被只吸引，或被只蒸发，那么，就没有后续的被吸引和被蒸发的东西了；“电子围绕原子核旋转”这出戏，也就唱不下去了。不过，幸好还剩下唯一的一类“黑洞”，即，鞍点类“黑洞”；此时，这个唯一的电子，被沿一条轴线吸进去，又被沿另一条轴线吐出来，如此循环往复。

如果按玻尔的发现，即，氢原子中共有7个电子能级的话；那么，氢原子中的鞍点类“黑洞”也有7个。而且，电子围绕氢核的运行是这样的：在一个“电子云”中的鞍点附近，这个电子被沿某条轴线给吸进去，然后又沿另一条轴线给吐出来，然后沿稀疏解轨线（其路径在数学上是连续的，但却无法进行物理观测，所以一直被物理学家们误解为“电子跃迁”[1]）进入另一朵云。在这朵新云中，这个电子又沿某条轴线被吸进去，然后又沿另一条轴线被吐出来，然后再沿稀疏解轨线再进入另一朵云。如此反复，像愚公那样永远“挖山不止”。

（四）送神记

既然前几节已经胡说半天了，此节，也不妨再“八道”几句更恐怖的“谣言”：

1）首先，牛顿同学早在几百年前，就一直努力寻找“形成宇宙的上帝第一推动力”。现在可以公布答案了：由于物理的粒子毕竟不是数学上的“点”，所以，在上一节的各类“黑洞”中，除了鞍点类“黑洞”之外，所有其它类的“黑洞”（结点类“黑洞”、退化结点类“黑洞”、奇结点类“黑洞”、焦点类“黑洞”等）都会产生挤压，甚至引发“恶性群体踩踏事件”。既然“哪里有压迫，哪里就有反抗”，所以，当挤压到一定程度后，革命就终于爆发了；于是，旧的宇宙dY/dt=G(Y)就被摧毁了，新的宇宙dX/dt=H(X)就诞生了。这就是“上帝的第一推动力”，其中，X表示新宇宙的所有粒子，dX/dt=H(X)便是新宇宙的宇宙方程。这个新宇宙的“黑洞”又开始挤压，直到下一次“改朝换代”。

2）其次，再修正一下宇宙爆炸论。过去专家说，宇宙是由一粒“芝麻”按“墨汁融解”方式爆炸（见[5]）而形成的。但是，从上一节的描述可知：其实，爆炸产生新宇宙的，不只是一粒“芝麻”，而是满天的芝麻，其中每一粒芝麻，就对应于上一节中除鞍点之外的某类“黑洞”（因为，鞍点类“黑洞”中，有进有出，“收支平衡”，不会造成挤压，更不会爆炸）。

支持这种“多点爆炸论”的旁证之一，就是“白洞”的存在；其实，“白洞”就是“上朝宇宙”或“上上朝宇宙”中还没来得及爆炸的“黑洞”，由于“新朝宇宙”的宇宙方程已变为dX/dt=H(X),于是，其轨迹的分布和细节都变了；甚至“上朝宇宙”中只吸引的某些“黑洞”，可能就变成“本朝宇宙”中只蒸发的“白洞”了。时间也从“康熙末年”变为“乾隆元年”了。

据说，科学家们现在观察到的宇宙物体，都正在越来越彼此远离，这就说明：人类居住地和当前能够观察到的宇宙部分，刚好处于某个“白洞”区域内。假如，今后人类的观测距离更远了，也许某天突然又发现：在宇宙的另一部分中，物体之间彼此的距离又越来越近；那么，这部分宇宙就处于某个“黑洞”区域内了。

3）最后，再同时表扬和批评一下爱因斯坦同学。爱同学，你创立了狭义相对论后，又搞出了广义相对论，接着又要攻克“统一场论”，试图把宏观、微观、高速、低速等世界统一起来，甚至要找到某个宇宙常数。你这种大无畏的革命精神，绝对值得肯定！但是，你千不该万不该，不该轻易放弃统一场论。因为，早在1945年，宇宙方程dY/dt=G(Y)就已由贝塔朗菲提出，而那时你正怀着“统一场论”；虽然有点妊娠反应，但是，假如你当时再补充一点宇宙方程（dY/dt=G(Y)）方面的营养，也就不至于“流产”，没准现在你的第三胎“宇宙常数”就已经可以“打酱油”了。有特殊兴趣的读者朋友们，让我悄悄告诉你这个“宇宙常数”是什么吧！它就是费根鲍姆常数的高维推广！因为，这个费根鲍姆常数，如见[3]的第4章，来自于自治的微分方程dy/dt=g(y)（g(.)是1维函数），如果该“自治方程”推广为“自治方程组”得到了相应的“费根鲍姆常数”，那么，恭喜你，美若天仙的“宇宙常数”就非你不嫁了！

那么，“宇宙常数”到底意味着什么呢？杨半仙我斗胆预言一下：宇宙常数将告诉我们，本朝宇宙的寿命；或者说“当朝宇宙dY/dt=G(Y)”的时间终点和“下朝宇宙dX/dt=H(X)”的时间起点，即，“康熙末年”的终点和“乾隆元年”的起点。

又有哥们儿问啦：“杨半仙，你为啥不自己去找出这个宇宙常数呢？”嘿嘿，抱歉，我得赶紧启动造粪机，造SCI/EI论文去了。否则年终考核不过关，你管饭呀？！伙计，如果你不怕考核，潜心修正了我的错误，今后若获“诺贝尔段子奖”，可别忘了给我“打赏”几毛哟！

搞笑到此结束，谢谢您的捧场！

参考文献

[1]杨义先，量子纠缠可能并不神秘：用数学解释物理，科学网实名博客，网址：http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-1115088.html

[2]杨义先，钮心忻，安全通论，电子工业出版社，2018年出版，北京。

[3]杨义先，钮心忻，黑客管理学，电子工业出版社。

[4]冯.贝塔朗菲著，林康义、魏宏森等译，一般系统论：基础、发展和应用，清华大学出版社，1987年8月第一版，北京。

[5]杨义先，无力之动---墨汁扩散思想实验，实名博客网址：

http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-1092559.html