我国工程界的流行说法是，抽象数学那套理论不实用，有的甚至说是那就是错的。这个说法在工科院校也是非常流行的。

       在20世纪80年代，学界对抽象数学理论还是有很高的热情的，但是，由于在哲学意义上并没有深刻认识，从而也就是热一热就过去了。

       也就是在那个时代，有老学者解释说，在连续介质中，因为就目前科学理论体系看，热力学原理是最为宏观的全局性规律，因此其它的具体力学定理要受到热力学原理的约束。但是，这种约束并不明显，因此发现这类约束是科学上的重大基础理论问题。

       当时力学理论界的口号是，建立基于热力学一般原理上的连续介质力学理论。后来，我在查阅国外文献时，确认基础科学界的很多努力的确是热力学的哲学原则下展开的。本博文将对此进行论述。

       热力学的最大问题在于，3个基本的状态变量PVT是不独立的。从而，在把它们看成是自变量，而对宏观量U求导时，在数学上就有逻辑问题了。也就是说：dU=U_pdP+U_vdV+U_tdT 在逻辑上是有问题的（下标表示对该变量求导数）。因为，就数学理论而言（如XYZ坐标），自变量是绝对独立的。因此，热力学上关于可微还是不可微的问题进行了漫长的学术争论。在数学上和逻辑上解决这个争论的是雅可比函数的引入。它解决了任取两个自变量的热力学函数间的转换问题。也就解决了热力学意义下的对PVT的求导问题。

       对于连续介质内的质点运动，由于XYZ坐标是时间t 的函数，从而这3个坐标也不是独立的。其对时间求导的法则为李导数。数学家用了很大的努力证明，李导数概念与雅可比函数概念是协调的，从而属于热力学意义下的求导法则（受全局基本物理规律约束）。

       这部分的论证属于关于空间自变量偏导数的论证，如果是归结为微分平方长度不变量的，就是张量理论。

在物理学上，最小作用量原理实质上就是关于自变量间关系的函数的定义。等价于热力学上的全局约束。但是，对具体的哈密尔顿函数（除了简单系统外）我们几乎没有多少了解。

但是，最小作用量原理给出了各类偏导数间的相互关系（类似于热力学上的雅可比函数法则），从而，借助于这个方式建立的运动方程就比用微积分法则在没有物理约束条件下的求导法则更为合理。

所以，现代抽象数学的特征是在某种宏观约束条件下的微积分运算法则（受全局制约的微积分运算法则），而不是经典数学的不受全局规律制约的（自由的，局部的）微积分运算法则。

这就是现代数学在基础理论上应用的哲学基础。

因此，越是复杂的运动，其数学上的微积分法则越复杂。

数学上，模仿了热力学原理，把标量作为基本的不变量。而这个标量一般是物理上的某个守恒量（如能量），或是几何上的不变量（如绝对长度）。而这个守恒量一般能导出其它的守恒量。在此类“物理”约束下的抽象数学理论就成为基础科学理论的最爱。

因此，构造不同的不变量就有不同的微积分结构，此类理论数学家喜欢称之为群论。其一般称述先用某个不变量定义一类群，在此基础上引入附加的一个不变量定义子群。子群不仅满足母群的微积分运算法则，而且因附加的不变量，而出现新的（一般是简化的）微积分法则。这个环节可以继续进行下去，从而得到子子群上的微积分运算法则。最终到达某个不可约化群。此时，微积分运算是最简单化的。

哲学上，这个逻辑结构就是雅可比函数的拓展。

很多数学家是反过来论述，先研究一个特殊群，再来扩展其群的特性，与上面的结构相反。这类书令读者没有感觉。

在物理全局规律下的运算法则也常常被解释为：特定类微分方程的解的一般性质，如泛函理论就常采用这类观点。这类理论对科学概念的论述基本上是无能为力。但在我国很流行。

如果我们只是依据经典微积分的法则对物理变量求偏导，就不得不面对违反物理学全局规律（热力学原理）的风险。而现实世界发表的论文中，此类“显然正确”的对物理变量求导的文献多得很，因此，实际上，热力学原则是经常被违反的。

违反全局规律的后果，轻的是误差较大，重的就是形成错误的结论而又发现不了错误的根源。

我们现在面对的实际问题是，抽象数学提供了一般化的逻辑结构，但是对具体学科，能作为全局规律的物理量必须依据本学科特点来构造。不加深刻考查的生般硬套（如20世纪）也不能在本学科建立正确的现代理论。

所以，21世纪的基础科学研究的重心是消化抽象数学理论并转换为具体学科的具体微积分运算法则。

在这个意义上，我国学界是有重大战略机遇的。