集合的定义和罗素悖论

1 集合的定义

    康托对集合的定义是：“我们的直觉或思维能够确定且加以区分的对象所汇集成的总体，我们称这些对象为元素。”

    从该定义看，定义里的对象应该是多个，否则不存在要加以区分的问题。这就没有把空集合和单元素集合包括进去，因此与人们实际使用的集合概念有出入。另外，在康托的定义中，什么叫“总体”，也没有说清楚。

    为此，本文给出的定义是：

    定义1（集合的定义） 符号{}定义了一个空集；若{}内有任意多个确定的研究对象，则称定义了一个非空集；当非空集合内有多个元素时，这些元素必须是可区分的。

    例如，有一个元素a的集合用{a}表示，有两个元素a,b的集合用{a，b}表示……，有无限多个元素的集合则称为无限集合。

    符号{}称为集合符号，研究对象也称为元素，在数学中，研究对象或元素是指数学研究的对象，例如，数、点、几何体等。

    以上定义显然与我们平时所用的集合概念完全一致，但本文用来定义集合的符号{}和数学研究对象，都是在数学中本来就有的，不需要另行定义。而且，由于不再需要含义不清的“总体”概念，故本文的定义更清楚，可方便且无歧义地用于进行与集合有关的各种推导和证明。

    定义2  若集合A与B无法区分，则称A=B，反之则A¹B。

由集合的定义可以证明集合的性质：

    性质1）若两个集合A,B具有相同的元素，则A=B。

    证明：根据集合的定义，{}内可以有任意多个元素，若集合A的元素与集合B的元素相同，则A与B无法区分，故A=B。

    同理可证

    性质2）若两个集合A,B具有不同的元素，则A¹B。

    性质1 和2说明集合完全由其元素决定，虽然实际上与公理集合论中的外延公理一致，但由于在本文中可以予以证明，所以提高了理论体系的可靠性。

    一般来说，任何理论体系中无法证明的东西越少，则该理论体系越可靠。而在数学中，除了不需要证明的定义外，唯一不能证明的就是公理。因此，公理越少，理论越可靠。

    这里要说明的是，性质1），2）只考虑是否具有相同的元素，并不考虑元素的次序。这是因为，在集合的定义里，并没有提到元素的次序。

    性质3）集合本身并不具有各元素的具体性质。

    证明:  由集合的定义可见，当集合具有多个元素时，各元素是互不相同的，因此具有的具体性质也互不相同，若集合要表示各元素的具体性质，就必须给出相应的方法，但集合的定义并没有给出该方法，因此集合本身并不具有各元素的具体性质。

    在人们的实际使用中，集合是从总体上把握集合的元素的，并没有分别考虑各元素的具体性质。例如，元素1，2 具有不同的数值，但集合{1，2} 无法将这些不同的数值表示出来，因此，集合{1，2}是没有数值的。所以，集合将各元素作为总体来看，并不考虑各元素的具体性质，这就是康托定义中的所谓“总体”的具体含义。本文用可以证明的性质3代替了总体概念，不但简化了集合的定义，而且逻辑更为清楚、更为严格。

    以下将会看到，性质3足以排除罗素悖论等集合论悖论。这是因为，性质3使得集合与元素已经截然不同。例如，2=2，但2≠{2}，一般地，有

     a ≠{a}                                                                  (1)

成立。(1)式可用反证法证明：a=a显然成立, 如果a={a}仍然成立, 则与性质3矛盾，故（1）式成立。

    对于多元素的集合，元素和集合的区别变得更为明显。例如：如果一些学生组成了一个称为班级的集合，则任何一个学生都不会认为自己就是这个班级，且班级的学生越多，认为自己就是班级的想法就越显得离奇。因此，对任何集合A内的任一个元素a，a都不等于集合A本身，即

  In anyA，any a(∈A)≠A                                  （2）

（2）式的证明（反证）也比式（1）更显然：当有多个或无限多个元素时，若对于任意集合A，若A内有某一个元素等于集合A本身，则不但与性质3矛盾，而且还会形成一等于多或一等于无限的矛盾。

         不过，某一个事物，在某些情况下是元素，在另一些情况下则可能是集合。例如在年级这个集合内，班级是一个元素，但班级本身又是以学生为元素的一个集合。以后将会证明，这种一个事物既可能是集合也可能是元素的事实是导致很多概念混淆并产生包括罗素悖论在内的集合论悖论的根源。例如，有人可能认为，既然在不同的情况下，一个事物既可以是集合也可以是元素，那就说明元素可以等于集合。其实，由式（1）（2）可见，在相同的情况下，即在一个集合内，一个事物不可能既是集合又是元素。仍然以学生、班级和年级的关系为例，在由班级为元素组成的年级这个集合内，班级永远是元素而不可能是集合；而在由学生为元素组成的班级这个集合内，班级永远是集合而不可能是元素。换言之，在同一个集合内，元素永远是元素，集合永远是集合，绝不可能出现集合等于元素的情况。这一点，（1）、（2）已经说得十分清楚。事实上，只要不在这个问题上犯错，并不会产生任何集合论悖论。

    在ZF公理化集合论里，由于并没有集合的定义，故（1）式无法根据并不存在的集合定义进行证明，而需要用到正则公理证明^[8]。经典集合论则可以有明确的集合定义（本文已给出）。本文直接根据集合的定义证明了（1）、（2）式，这是本文与其他文献的不同之处。

2 罗素悖论

    罗素把集合分成平常集合与不平常集合，从而产生了罗素悖论。

设

A={S |S￢∈S }              （3）                          

式中，S表示一切集合中的任一个集合，其中符合S￢∈S的集合，即集合的元素中不包含集合本身的集合，称为正常集或平常集，否则称为不正常集或不平常集。

所谓罗素悖论源于罗素自问自答的问题：A是平常集还是不平常集？为了讨论方便，以下将该问题称为罗素之问。罗素是这样回答该问题的：

如果A￢∈A， 由于A是由所有符合A￢∈A 的集合组成的，所以A的元素中应该有A, 即A∈A，形成矛盾；

同理，如果A∈A，这时A中间不应该出现A，即有A￢∈A成立，也形成矛盾。

这就是罗素悖论！

3 存在不平常集合吗？

    显然，罗素悖论是以存在不平常集合为前提的：如果没有不平常集，罗素之问自然不成立，即使一定要问，答案也是唯一的，不会形成悖论。

    其实，所谓不平常集合，实际上就是指在同一个集合里，集合同时是元素，例如

G={G,…..}                                                                                                 

就是这样的一个集合，这里，省略号表示集合G内除G外的其它元素。

    不难看出，该集合与式（2）直接矛盾，因此是不可能存在的。

    如果集合内只有一个元素，则上式变成

G={G}                                                  

与（1）矛盾，也不可能存在。如果G是空集，当然更不可能是不平常集了。

     总之，无论是空集，还是单元素集合，或是多元素集合，都不是不平常集，故罗素悖论并不存在。

    事实上，到目前为止，还从来没有人能够真正构造出一个严格意义上的不平常集。

    例如，教科书上常常用概念的集合也是概念, 名词的集合也是名词，集合的集合仍然是集合，或人的集合仍然是人等来作为不平常集合的例子。但仔细考察，这些例子都不成立。例如，虽然一切人：张三，李四….的集合

G={张三，李四，….}                  （4）

仍然是人的集合，但是根据集合的定义，集合G由张三，李四，….这些人的组成，而并不是指其中的某一个人，故该集合G不可能与集合中的任何一个元素张三，李四，….相同，故G ∈G并不成立！

       那么，是否可以把G也作为该集合的一个元素从而构成所谓非平常集合呢？即把(4)式写成：

G={G, 张三，李四，…..}              （5）

    但根据经典集合论的外延定理，（4）、（5）两个公式的元素不同，集合自然不同，即外延变了，不可用同一个符号G表示，否则就犯了“偷换概念”这一违反同一律的错误！因此，（5）式左端必须换用其它符号，即定义另外一个集合，例如，可以表示成

G*={G, 张三，李四，….}               （6）

     显然，这仍然是一个平常集！这里，G， G* 虽然在字面上都是与人有关的集合，但实际其外延已经发生了变化，并不是同一个集合，如将其混淆，就违反了同一律！

     若将（4）的元素换成概念、名词、集合等任何其他元素，结果仍然成立，即都无法构成不平常集。

 其实，唯一有点像不平常集的集合是所谓书目问题：

 为了便于读者检索，图书馆编了一本称为书目的图书，将包括书目本身在内的图书馆所有的图书的书名都编了进去，于是似乎构成了一下不平常集合：

书目={书目，图书1，图书2，图书3，…}    （7）

 其实，只须注意到，该集合是一本书，而集合的元素只是一些书名，而书名不过是代表书的符号，并不是书本身，因此，严格地说，该集合应该表示为：

书目（书）={书目（书名），图书1（书名），图书2（书名），图书3（书名），…}   （8）

 显然，因为书目这本书并不等于其书名，所以这仍然是一个平常集合。

其实，根据经典集合论的定义，一个严格意义上的不平常集应该表示为

 X={X,Y,Z….}= {{X,Y,Z….},Y,Z….}= {{{X,Y,Z….},Y,Z….},Y,Z….}=… （9）

这种无限嵌套的集合是不可能存在的。

        例如，对单元素不平常集合，（9）式变为

        X={X}= {{X}}= {{{X}}}=….                      （10）

显然与式（1）矛盾！

4  总结和讨论

从本文所举的例子可以看出，所谓不平常集，其实都是因为思维太过粗糙、太过随意，太不严格，从而混淆了概念（例如混淆了书和书名）的细微差别所致，实际上都不存在。

对任何不同的研究对象，哪怕这些差别十分微小，也都必须用不同的概念或符号来表示，否则就很容易造成各种混淆，从而违反了同一律，可惜的是，人们往往不注意研究对象的细微甚至十分明显的差别，经常性、大概率地混淆各种概念，从而常常使得人的思维混乱不堪。

其实，罗素的错误在于，当把式（3）中的集合的集合A看成集合后，原来的集合S就成了元素，而在同一个集合内，集合就是集合，元素就是元素，不可混淆。然而，罗素又把集合A当成元素S，才会出现罗素之问。

    这样一来，数学史上因罗素悖论导致的一系列变化的意义恐怕都要重新审视，数学家们走了一百多年的弯路！例如，如前所述，无法证明的公理应该越少越好。例如，人类曾经花了两千多年试图把平面几何的五条公理压缩成四条，虽然没有成功，但却表明了数学界对于不能证明的东西的排斥。但现在为了消除罗素悖论，却构造了一大堆无法证明故无法排除存在反例可能性的公理，而且还人为地缩小了集合论的应用范围，且并无法保证不出现新的悖论，何况公理体系还存在着独立性、完备性和相容性等一系列复杂问题。

而且，公理化系统假定所有的元素都可以看作集合，这样，如果有一个元素不能看作集合就会成问题。从这一点来说，可以说反例到处都是，可靠性不强。

本文则证明，只要清楚地定义集合的概念，并不需要任何无法证明的公理即可消除罗素悖论！

罗素悖论暴露了罗素思维的不严格。其实，不仅是罗素，皮亚诺、戴德金、康托、希尔伯特等也都不同程度地存在着思维不严格的情形。大人物一犯错，其他人如果只会跟风，由此导致的后果几乎是灾难性的。例如，很多人可能会把一些不可靠甚至错误的东西当成数学常识而难以纠正，长此以往，会毒害人类的思维方式，使其变得只会盲从权威而完全丧失了批判性思维和分辨是非的能力。

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有研究表明，东亚人的智商远高于欧美人。

陈省身说过，21世纪，中国应该成为数学大国（大意），该说法被称为陈省身猜想。

但笔者以为，中国人虽然聪明，但由于历史的原因，还没有从崇洋媚外的被殖民、被奴化的思维中完全走出来，很多人还只会死记硬背书本知识，缺乏独立思考和批判性思维的能力。所以，恐怕还需要有一个破除迷信、解放思想的“启蒙”运动，该猜想才有可能被“证明”。