有理数究竟是比自然数多还是和自然数一样多？

    李鸿仪     leehyb@139.com

该问题对于小学生来说太简单了:自然数不过是正整数，最多再加一个0，但有理数不但包括0和正整数，还包括负整数和正负分数。由于自然数只是有理数的一小部分，所以有理数当然要比自然数多得多。

但数学家通常不这么认为，而是根据有理数可以与自然数一一对应做出了下述判断:有理数和自然数是一样多的。

数学家通常只相信证明。

其实，全体大于部分也是一个数学公理，根据该公理，也可以证明，小学生的推断是正确的。

有理数的数目居然和它所包含的自然数一样多，不由得使人想起西方流行的数学平权运动:1+1=2，对于3和4是不公平的。

这不是搞愚民政策吗？西方人崇尚自由，他们爱愚民就愚民去吧，平均智商远高于西方人的中国人凑什么热闹啊？

我曾经写过一篇文章，大声疾呼，不要让西方的这种反智的东西来毒害中国的下一代:一旦把人变成“以能看到皇帝的新衣为荣，甚至还看不起看不到皇帝新衣的正常人”之类的被愚者，要再恢复聪明是很困难的!

不过，康托未必是真的想愚民，在他那个时代，西方人也未必流行这种政策。只是他的思维不够严谨，比较随意而已，他也恐怕已经因此被我永久性地捆绑在数学史的耻辱桩上了（ 见我上一篇博文)。

其实，人总有犯错的时候，犯点错误没什么，问题在于犯了错还有人来大肆吹捧，甚至将其捧成无人敢质疑的权威，这就很让人匪夷所思了。不允许质疑的不叫科学，叫宗教或者邪教。

中国有句话说，捧得越高，摔得越惨。捧他的人是有责任的。

在这篇文章中，我将继续肃清因康托思维的不严谨和随意而在数学史上造成的不良影响。

不过，康托确实在有理数与自然数之间建立了一一对应，而所谓一一对应，通俗地说，就是一个萝卜一个坑，因此如果集合A能够与集合B一一对应，A的元素数目与B的元素数目必然是精确相等的，康托称之为这两个集合具有相同的基数。所以，所谓基数，其本质就是元素数目的另一种称呼，也就是说，康托确实证明了有理数和自然数的元素数目是一样多的。

这又是怎么回事呢？

在康托的证明中，其实存在两个自然数集合：一个是有理数集合Q中包含的自然数真子集N，另一个是与Q一一对应的自然数集合，为防止混淆，以下以N₂表示第二个自然数集合。

康托本人及以后的数学家都没有发现这两个集合并不是同一个集合，所以才产生了混乱。

N₂和N是不是同一个集合，其实是很容易判断的:

由于N₂中只有极少一部分自然数就能与N中的所有自然数一一对应，充分证明了N₂是比N大得多的自然数集合。即两者并不是同一个自然数集合。

另一方面，由于N₂可以与Q一一对应，根据一一对应的定义，N₂的元素数目与Q必定是精确一致的，当然也就比Q的真子集N多得多，N₂和N的元素数目都不一样，这两个集合可能是同一个集合吗？

这么简单的判断都不做，就想当然地认为N₂和N是同一个集合，这个学术态度还有半点严谨可言吗？是在做学术研究吗？

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康托在他的原著中把基数定义为抽取元素性质和先后秩序后留下的东西，并把能够一一对应看作是基数相等，这一点问题都没有。我们知道，元素最多就具有性质、先后次序和数目这三大特性， 一旦抽取了性质和先后秩序后，留下的东西就只能是元素数目，只不过换了一种叫法而已，而且把能够一一对应看作是基数相等，也完全符合一一对应的定义：所谓基数相等，也就是元素数目相等，即坑数和罗卜数相等而已。

康托秉持着其一贯极其随意，毫不严谨的“不良学风”，在处理实际问题时，完全没有抓住基数就是元素数目，一一对应，既是基数相等，也是元素数目相等这些基本原则，经常在元素数目明显不同的集合之间建立了一一对应，从而把所谓基数理论弄得混乱不堪，充满错

例如，误把元素数目完全不同的N₂和N看作是同一个集合，只不过是错误之一。

另一个错误是：，虽然可用函数y=x-1在N₁={0}UN和 N 之间建立所谓“一一对应”关系

y   0  1  2  3 ….,

x   1  2  3   4….

但以上的“一一对应”并不是真正的一一对应。这是因为，以上的所谓双射函数实际上只证明了对于任一个属于N（或N₁）的元素，都可以在N1（或N）中找到其唯一的映射元素而已，并没有证明所有属于N（或N₁）的元素，都可以在N₁（或N）中找到其映射元素。

如我在上一篇博文中所说，将“任何”一个推广到“所有”是需要证明的，而根据一一对应的定义，能够一一对应的两个集合，其元素数目必须是精确一致的。

容易用数学归纳法证明，N₁比N多了一个元素，N₁与N怎么可能一一对应？

用数学归纳法也不难直接证明，N₁与N是不可能一一对应：

设N的元素数目为n，则n=1时，{1}与{0，1}不能一一对应，没n=k时，N与{0}UN不能一一对应，易证n=k+1时N与{0}UN也不能一一对应。

可见，认为N与{0}UN能一一对应，不过是数学史上的一个笑话。

认为集合Q可以与元素数目要少得多的真子集N一一对应，也令人贻笑大方。至于将其推广到一般情形，甚至将无限集合定义为可以与其真子集一一对应的集合，则更是数学史上侮辱人类智商的另一个奇耻大辱:萝卜数和坑数都不一样，怎么可能一一对应？

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其实,小学生认为Q不能与N一一对应，数学家认为Q可以与N₂一一对应，小学生和数学家都没有错: 但数学家把N₂和N混淆，并把Q可以与N₂一一对应说成是Q可以与N一一对应，这就大错特错了，并因此与小学生发生了分歧。

从以上分析可以看到，问题的根本在于康托混淆了两个不同的自然数集合N和N₂。

那么为什么康托会犯这个错误呢？

他一个人犯错也就算了，他的追随者全世界有那么多，那么多年过去了都没有人看出来他的错误？

根本原因恐怕还在于康托建立的所谓无限可完成的实无限观。

根据这个无限观，不管康托本人还是追随者是否承认，包括自然数加1在内的任何无限过程实际上都被硬性地规定是可以完成的。既然可以完成，最终当然可以得到一个已经包含了全体自然数的、外延不再变化了的自然数集合。由于这样的集合的元素不再变化，没有任何理由可以认为某一个自然数集合可以与其他自然数集合不一样，也就是说，这种自然数集合必然是唯一的。

 在这种思想指导下，他们怎么可能去主动研究N₂和N是不是同一个自然数集合呢，即使你告诉他N₂和N不是同一个自然数集合，甚至证明给他们看了，他们也未必想得明白。

康托之所以规定无限是可以完成的，仅仅是为了方便:如果无限是可以完成的，完成了的无限就不再变化，那么无限集合就像有限集合一样具有确定性，研究起来就非常方便。

然而，科学是用来描述事实的，不是用来描述人们的愿望的。把愿望当做事实更是一种愚蠢的行为。比如说，我希望明天股票涨，我就找出各种理由，说明天股票一定涨，有意义吗?

无限能不能完成，只要看事实就可以了。以自然数加1的无限过程为例，由于任何一个自然数都是有限的，加1的过程一旦可以完成，就只能完成于一个有限的自然数，所形成的集合也只能是一个有限集合，  这样的过程还是无限过程吗？。

所以，至少自然数加1这个无限过程是不可能完成的。

既然这个过程不可能完成，当然也不可能形成一个已经包含了全体自然数的集合，也就是说世界上根本就不存在包含了全体自然数的自然数集合。

那么，我们能不能人为定义一个已经包含了全体自然数的集合呢？

定义虽然是有一定自由度的，但并不是想定义什么就可以定义什么。所谓定义，本质上不过是为了讨论方便给存在于客观或主观世界的某一事物给出一个名称而已，打一个比方，一个小孩出生了，他的父母就要给他起一个名字。虽然起什么名字是自由的，但起名的前提是这个小孩必须是已经或将要出生的，否则就没有意义。

数学定义也一样。当我们要对某一个事物进行定义的时候，这个事物必须是已经或至少是能够存在的，且其存在性不能与其他已经存在的事物发生矛盾，否则就会引起逻辑混乱。

一个已经包含了全体自然数的集合的存在直接与自然数集合元素数目的无限性发生矛盾：假定存在着一个集合，已经包含了全体自然数，那就意味着不再有其他自然数了，当然就意味着自然数的数目不是无限的了。

讨论不可能存在的东西通常还很容易产生各种其他混乱。例如，如果认为存在包含了全体自然数的集合，那么这种自然数集合就是唯一的，N和N₂的区别就无法解释。

事实上，由于自然数的数目是无穷无尽的，所以任何一个包含自然数的集合实际上都只能包含部分自然数而不可能包含全体自然数，不但有限集合只能包含部分自然数，无限集合也是这样，只不过无限集合不但已包含了部分自然数，而且还将继续包含更多的自然数，且其所包含的自然数没有上界即没有最大自然数而已。

既然无限的自然数集合只能包含部分自然数，那就没有任何理由认为它们恰恰包含了同样多的自然数。这样，自然数集合就有大小之分。例如，集合N每多包含一个自然数n*，N₂集合不但也要包括正负n*的自然数编号，还要包括以n*为分子或分母的所有正负分数的自然数编号，所以，N₂永远比N大得多。

类似的例子其实有很多。例如，如果一个矩阵的行数表示小数的个数，列数表数小数的位数，则这个矩阵的行号和列号就都是自然数集合:以二进制小数为例，列号数每增加一，行号要增加1倍，上述过程可以无穷无尽，从而形成两个不同的无限自然数集合。如果自然数集合是唯一的，如何解释上述现象？