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无限集合的一一对应

已有 7855 次阅读 2020-1-25 21:38 |个人分类:数学基础|系统分类:科研笔记

 

    数学推导需要绝对的严格,任何一点点的不严格或随意都可能在推理的长链上被不断地放大最后造成塌方式的错误。

    我其实对数学家是高度尊敬的,除了数学基础外,其他数学分支的推导都很严格,也不存在任何悖论。但在数学基础领域,不但存在悖论,所谓推导也往往十分随意。

    例如,康托集合论中关于无限集合的全部内容,都是建立在一一对应这一方法基础上的。一一对应原本是用于有限集合的,在将其推广至无限集合时,包括康托本人在内,并没有任何人严格地证明过为何这种推广是可靠的。除非是公理,接受或引入任何没有证明过的东西,不要说是绝对的严格了,连起码的严谨都算不上。

    集合论存在问题是明显的,否则不但不可能有悖论(详见我的第一篇博文),也不可能有那么多人质疑。

    不要用“我赞成主流”来自我安慰,主流并不意味着正确。只有在完全没有争议的情况下(例如勾股定理),主流也不过是可能正确,例如,牛顿力学就曾经没有任何争议。

    而一旦有争议,恐怕必须得认真思考了。

    一个不争的事实是,聪明人永远是少数,所以真理往往在少数人手里。而且,所谓主流,还往往有着大量只会跟风的人,真正有独立思考能力的未必多

    当然,在目前的条件下,对每一个层次的人都要求独立思考并不一定做得到。以学生为例,如果书上有错误,为了应付考试,学生只好把错误的东西当成正确的东西来理解,否则岂不是要挂科?但长此以往,岂不把人的大脑都搞坏了?数学还会有前途吗?

    我有一次看非诚勿扰,里面有一个自称是数学家的男嘉宾,女嘉宾一听是数学家,几乎都把他当另类。结果主持人说,以后最好不要说自己是数学家。

    所以,数学必须消灭错误,学生的脑子才不会被搞坏,数学才会有正常人接班,才能发扬光大,数学家们的地位也才会水涨船高。

    然而,要消灭错误,也不是那么容易的,学生做不到,数学系的一般老师也未必有这个能力,即使有这个能力,也未必会得到支持和鼓励。即使是数学系教授,他们通常也是从做数学系学生一路走过来的,未必也都能恢复正常的批判性思维能力。

    事情是否无解?

    也未必。

    只要彻底解放思想,破除迷信,即暂时把所有关于集合的知识搁置一边,然后从集合的定义开始一步一步地用与数学其他分支学科一样严格的思维来进行审视,保留其中正确的部分,去掉其中错误的东西,补充其中缺少的东西,问题是完全可以解决的,甚至可以说是小菜一碟,完全不在话下。

    这里要特别注意的是,逻辑的秩序不可打乱,即不能有循环定义或循环论证。

    比如说,当我们考察无限集一一对应的可靠性的时候,所有根据一一对应得到的结论都是不可以用的,比如说无限集可以与其真子集的元素建立一一对应关系这一结论(为讨论方便,以下称为关于无限集真子集的命题,简单称真子集命题)、超穷数的理论都不可用。原因再简单不过了:真子集命题和超穷数理论都是假定一一对应是可靠的才得出的,在一一对应的可靠性尚未得到证实时,超穷数理论和真子集命题的可靠性也未知,怎么可以用它们来证明一一对应的可靠性呢?岂不荒唐?

    只要严格遵循以上原则,审视本身并没有困难,相信会有很多成果,本文权当抛砖引玉吧。

    我在前一篇文章中说过,存在着很多不符合实无限定义(康托的原话是“完成了的无穷”或“确定的适当的(eigentlich-unendliches)无穷”)的无限过程,因此实无限至少不是普遍成立的,所以,认为其普遍成立的实无限观至多只能是一个假定。

    定理a:在实无限假定下,两个自然数集合之间不一定能建立一一对应关系。

    证明:根据一一对应即双射的定义,能在两个无限集之间建立一一对应关系的充分必要条件是两个集合具有相同的元素数目即具有相同的基数。现有一个自然数集合N,在实无限假定下,无限已完成,故该集合存在一个完成了的基数,设用W表示之,设再有一个能与N建立一一对应关系的自然数集合N’,其基数自然也是W,现在抽取N’中的偶数组成一个新的集合,得到的偶数集基数为W/2,再将偶数集合的每个元素除以2,得到的集合用N*表示,显然N*也是一个自然数集,但其基数只有集合N的一半,故不能在集合N与N*之间建立一一对应关系。   证毕

    以上定理及其证明过程对于一些思维已被建立在不可靠的一一对应基础上的诸如真子集命题或超穷数理论等所禁锢的人来说,简直是大逆不道、充满错误的奇谈怪论,孰可忍?孰不可忍?但对一个思维尚未被不可靠的东西禁锢的正常人来说,一切都是那么自然且简单,甚至显得有点不言而喻、有点多余、有点小儿科,应该不会有人认为可能在证明的任何环节中找到任何错误。

    可见,因为缺乏独立思考能力而被一些不可靠的知识禁锢是一件多么可怕的事情!若不预先解除禁锢,人哪里还有正常的思维能力?

    如果自然数集与自然数集之间都不一定能建立一一对应关系,那么又有哪两个集合之间建立的一一对应关系是可靠的?

    不过,以上讨论都是在实无限假定下进行的,那么,如果对于潜无限,一一对应又是否可靠呢?   

    与“完成了的”实无限相反,潜无限是指没有完成的无限。既然无限没有完成,那么已经完成的实际上只是其中的有限部分,所以康托将潜无限定义为“可变的有穷”(原话)。

    康托虽然给出了潜无限的定义,但康托认为集合的元素不能变化,所以在康托的集合论中,并没有潜无穷的位置。其实不然,变量可以变,函数可以变,集合的元素数目为何不能变?而且,潜无限是客观存在的,如果集合论不能描述潜无限,就无法完整地描述数学对象。所以我认为要补上这一缺失环节。

    与普通的有限不同的是,潜无限中的有限过程是可以无限扩张的,因此,可以将潜无限集合视作可以无限扩张的有限集。以自然数为例,普通的有限集可表示为{1,2,3,…,n},但对潜无限来说,n是可以无限增加的,所以我将潜无限的自然数集合表示为{1,2,3,…,n}(n趋于无限)。但这里要说明的是,这并不是求极限,而只是一种表示方法,所以不要与极限搞混了。

    例如,一个房间可以无限建造的旅馆和一个旅客数可以无限增加的旅行社就都符合潜无限的定义,而所谓在某时刻“客满”是指在该时刻正好每间房间都住满了了人,因而不可能通过移位增加或减少房间数,即无限旅馆悖论并不存在。

    对于潜无限,由于无限过程没有完成,所以没有一个完成了的无限集基数,我们不妨将上述的n定义为一个在不断增加着的潜无限基数。根据该定义,易证:

    引理 在潜无限集A={1,2,3,…,n}和B={1,2,3,…,m}(n、m趋于无限)之间建立一一对应的充分必要条件是n=m.

    对于潜无限集A和B,若两个无限集的基数n,m是有制约关系的(称之为不独立的两个潜无穷集),例如,对于对N进制潜无限小数,小数数目m=N^n,其中n为小数位数,显然当N>1时,集合A,B之间是不能建立一一对应关系的。但如果两个无限集的基数并没有任何制约关系(称之为独立的两个潜无限集),则有以下定理:

    定理b 任意两个独立的潜无限集A、B之间都可以建立一一对应关系。

    证明 设A和B的基数分别为n和m, 因为n和m可独立变化,因此总可使n=m成立,由引理知,这时A和B 的元素一一对应。证毕,

    仍然以无限旅馆为例,如果造房间的速度和旅客增加的速度至少一个可控,则就可视作两个独立的潜无限集,因此总可以设法接近甚至达到正好客满即建立一一对应关系的理想状态。

    再例如,对N进制来说,小数数目{1,2,3,…, N^n }(N^n趋于无限)显然也是一个无限的自然数集,故小数数目也可以与无限自然数集建立一一对应关系。同理,自然数集{1,2,3,…,n}(n趋于无限)的幂集元素可以与自然数集{1,2,3,…, 2^n }(2^n趋于无限)建立一一对应关系,因此若持潜无限观,康托定理并不成立。

    可数集的定义是该集合能与自然数集建立一一对应关系,或能一一列出集合的元素(易证两种定义互为充要条件,且后者更为直观,所以也被普遍使用),因此,若持潜无限观,不存在任何不可数集合。

    这里要说明的是,定理b只证明了任意两个独立的潜无限集A、B之间可以建立一一对应关系,但并没有说不可以建立非一一对应关系。事实上,由该定理的证明过程可见,既然n和m是可以独立变化的,那么我们当然既可以令n等于m,也可令n不等于m。所以,在任意两个独立的潜无限集A、B之间既可以建立一一对应关系,也可以建立非一一对应关系。换言之,对潜无限集,一一对应也是不可靠的。

     总之,无论是持实无限观还是持潜无限观,无限集之间都无法建立可靠的一一对应关系,由此建立的真子集命题和超穷数理论都无法成立,建立在一一对应基础上的可数或可列定义也没有任何实际意义。

 

 



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