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统计物理中的一道百年谜题 精选

已有 6030 次阅读 2019-8-21 10:03 |个人分类:大学教育|系统分类:观点评述| 统计物理, 难题

一,统计物理中的一道百年谜题

平衡态的统计分布函数是刘维尔方程的解。一方面,刘维尔方程是力学规律的后果;另一方面,统计分布独立于力学规律,遵守的是统计规律。那么,力学规律到底是不是统计物理的基础? 这个问题的答案必须是否定的!如果答案必须否定,如何理解平衡态的统计分布函数是刘维尔方程的解?

二,王竹溪先生的思考

关于力学规律和统计规律之间的差别,王竹溪的大作《统计物理学导论》(第二版)中有专辟一节讨论。

fig22.png

这一段和第一版的内容,有很大的修改。两版之间,历时9年。说明王先生为这个问题,一定纠结了很久!

三,Mandl的思考:力学的刘维尔方程

Mandl的名著《统计物理学》中p.230页专门有一段论述到刘维尔定理。

这一个是力学的刘维尔方程。这个方程出现在几乎所有的统计物理教材中!例如李政道先生,王竹溪先生的教材等等。这个方程的特征是:一个系统中全部粒子的初始位置和初始动量都是完全确定的!这样,相空间中,许许多多的系统构成了点的流体!因此,只有点的密度是有意义的。而点的密度就是分布函数!这个密度分布的运行规律就是纯粹的力学规律!

 fig3.jpg

四,Reichl的思考:随机变量的刘维尔方程

这一个是关于随机变量的刘维尔方程。

这个方程和力学的刘维尔方程有全同形式,数学推导过程全同!但是,解释根本不同!统计物理的刘维尔方程中的出现了随机变量:一个系统中全部粒子的初始位置和初始动量是随机变量!试看Reichl的《统计物理现代教材》(第二版)p.287.

fig4.jpg

五,问题的正解:没有初始条件!

刘维尔方程的解是时间可逆的,但是分布函数的解原则上不可逆。

但是,统计物理大师们如MandlReichl等等,关于初始位置的讨论是必要的,也可能是非常不必要的,甚至是误导的!根本原因在于:刘维尔定理中的轨道,没有开始,也没有终结,也没有交叉!除了轨道本身满足经典力学外,根本不知道分布函数的物理意义!换言之,如果需要赋予分布函数的物理意义,必须添加假设。因此,平衡态的统计分布不是刘维尔定理的推论或者后果!

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后记

最近拍摄热统课程的MOOC,觉得刘维尔定理如鲠在喉。缠斗了近一个月,终于有了一点想法。

博文初稿完成后,分别请三位大师把关,意见如下。

1,统计物理大师的意见:

刘维方程没有两个,只有一个,初条件非实质。“平衡态的统计分布函数是刘维方程的解”,只说前者是守恒量的函数。刘维方程与哈密顿方程数学上完全等价。

非平衡统计力学需要新原理,即分布函数的演化方程,最佳候选是主方程。“热运动”是分子运动论的语言,统计力学只应也只须关心分布函数。

2,统计物理天才的意见:

我在科大的时候,发现我的老师也喜欢钻研这些问题。但是,活跃在第一线的研究人员,不会理会这个问题。例如说,如果从刘维尔方程出发,推导布朗运动的郎之万方程,不是不可以,而是显得匠气十足!研究人员会直接构造理论模型,写出布朗运动的郎之万方程,至于这个方程是否满足牛顿力学,根本不关心!

不要纠缠这些问题!

3,统计物理教学界前辈的意见:

从刘维尔方程到微正则系综中的分布函数,不能直接过渡,肯定有个假设。

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专家批评指导

博文贴出后,微信中各位专家给予批评。部分意见如下:

1,华盛顿大学钱纮先生

关键是什么样的 Hamilton 系统。一方面有可积系统存在 soliton 现象,根本没有统计描述可言。另外一方面有台球系统,在无穷长时间,会有统计规律湧现出来。这后者是 Sinai 证明的。

2,中国科技大学张永德先生

统计分布规律有经典量子两部分,量子又分玻色费米两部分,外加它们的过渡。所以要谈清楚这个问题,必须从更高更深刻观点出发(而不是从某个方程出发——那是从数学出发,而要从物理观念出发,从公设出发)。请见我高量(下)附录A中A.3小节。已全部导出说清了。也参见量子菜根谭(第三版)第18讲。

3,厦门大学赵鸿先生

我印象郝先生比较强调以下两点:1、从刘维定理肯定推不出统计物理的,一定要做手脚,也就是粗粒化。2,玻尔兹曼对彭家莱回归的回怼是虽然有回归但是比宇宙年龄还长。这个看起来有道理,但只是一个技术层面的聪明的借口,不能算回答了原意上的问题。这些观点也都已存在,只是个人偏好的不同而认同的权重不同。

4,上海大学杨会杰先生

看雷克书,似倾向于把统计不同逆归于轨道非稳定性。总感觉用碰撞即可说的过去。因为碰撞,轨道实际上是一个伪白噪音序列。信息熵快进增加,做为人很快忘记了回家的路(上帝会记得)。最后时间失去了意义,只有分布信息。这是以人为中心(测量)导致的局限。在上帝的物理理论里,统计理论根本不需要,就是牛顿力学的简单推论。

5,南京大学王骏先生

我觉得刘维方程的事情,可以这样理解。动力学的方程在短时间内是正确的,这时如果分布函数是不变量,因此分布函数就可以是体系守恒量(如对于一般系统只有能量、动量、角动量)的函数,加上弱耦合条件(也就是扩展可加性),我们就发现分布函数应该是玻尔兹曼分布(经典条件下)。更一般的情况下,分布函数只要是哈密顿的函数(和哈密顿可对易即可)。长时间就要考虑碰撞项,对于普通的随机加阻尼,我们可以发现玻尔兹曼分布可以使碰撞项消失(当然会多出一个刻画随机项的温度因子)。平衡分布其实是动力学和随机项自洽的一个结果(当然随机项作用更重要一些,考虑其他碰撞项,还可以得到玻色分布和费米分布)这个是基于现有理论的讨论。是否从动力学就能搞定一切,没头绪哈[捂脸]感觉现在的统计物理就是有限系统的统计理论哈,热力学极限只是理论抽象哈。



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