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纪念钱伟长先生百年诞辰专辑-10；钱伟长对奇异摄动理论的贡献
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【按】10月20日，笔者应邀参加了全国奇异摄动理论和应用学术研讨会暨我国奇异摄动理论奠基人钱伟长先生百年诞辰纪念会，在会上做了题为“钱伟长先生对奇异摄动理论和应用的贡献浅析”的报告，以下为该报告的摘要。现发布于此，理工科大学生可大致看懂本文的内容。
一、奇异摄动理论简介
1979年5月钱伟长先生在上海组织召开了首届全国奇异摄动理论研讨会，会上，他对奇异摄动理论及其应用做了精辟的论述。这里，摘录他为会议的文集《奇异摄动理论及其在力学中的应用》撰写的序言中的论述[1]。
关于奇异摄动理论的产生和形成的背景，他说：
“自第二次世界大战以来，力学的分析方法在两个方面，即在广义变分原理和奇异摄动理论方面有重要的发展。前者配合着计算机的出现，为有限元提供了广阔的工作园地；后者基本上满足了力学由线性领域进入非线性领域所必须的有效手段。力学工作者利用这个新的手段，对许多力学现象有了前所未有的理解。目前奇异摄动理论已成为应用数学的一个重要方法 。”
“通常正则摄动法在：(1)无限域的场函数问题;(2)场函数和它的各阶导数不是同量级的问题；(3)场函数的微分方程由于正则摄动引起方程类型变化的问题；(4)场函数的微分方程的系数中有转向点的奇点问题中，就不能得到在求解区域内一致有效的渐近展开式，于是，各种奇异摄动理论就应运而生。 ”
关于奇异摄动理论的实质和长处，他说：
“奇异摄动理论是在发展中逐步形成的，当物理、力学或其他工程科学问题中出现无量纲小参数时，利用摄动法或小参数展开法作渐近展开，往往会得到简单而有效的结果，这种方法可以用来处理复杂的非线性问题。”
“奇异摄动方法是一种渐近分析方法，它的优点是能给出足够正确的解的解析结构，其结果常能用来进行物理问题的定性的且近似定量的讨论。这种优点是数值解做不到的。因此，奇异摄动理论越来越受到国际学术界的重视，应用范围也越来越广，从而逐步形成了较完整的理论。 ”
奇异摄动理论的主要方法有[2]：
• Poincare-Lighthill-Kuo方法（即PLK方法，含变形参数法、变形坐标法）
• 匹配渐近展开法（匹配法、合成展开法）
• Wentzel-Krammer-Brilloin方法（即WKB方法）
• 平均法（含van der Pol法、KB方法、KBM方法）
• 多重尺度法（导数展开法、两变量展开法、V-L方法）
应该指出，中国学者对奇异摄动理论的发展做出过一系列重要贡献，其中的主要人物有：
钱伟长，创立了合成展开法，发展了变形参数法；
郭永怀，为建立Poincare-Lighthill-Kuo方法做出了贡献；
林家翘（发展并应用了WKB方法、提出解析特征线方法）；
丁汝（提出了改进的摄动法-PLK方法的一种）；
谢定裕（提出了平均变分法-平均法的一种）；
梅强中（发展和应用了多重尺度法）；
周恒（发展和应用了KBM方法）；
江福汝（提出了改进的边界层校正法）；
苏煜城、林鹏程（发展了奇异摄动数值计算方法）；
林宗池（发展了奇异摄动研究中的微分不等式理论）
这里仅对钱伟长先生的相关贡献做进一步描述。
1947年，钱伟长先生提出了被后人命名为“钱伟长方法”的系统逼近法，可做如下简要概括：
l 贡献：提出“钱伟长方法”（一种变形参数法）
l 创新点：将已知的外压用未知的中心挠度进行摄动展开
l 研究思路：以Hencky薄膜解为零级近似做摄动展开
l 主要结果：摄动参数小于1时，渐近解相当准确，摄动一次足够了；摄动参数稍大于1时，摄动两次即可。所得的渐近解符合实验结果（Mcpherson-Rumberg-Levy, 1942）
l 存在问题：摄动参数更大时细观的挠度分布与实验有差距
l 影响：得到广泛引用，苏联学者将此法命名为“钱伟长法”、“钱氏摄动法”（ΑС Вольмир：《板和壳的弯曲》，1956）
l 后续工作：清华大学薄板大挠度问题研讨班，叶开沅、胡海昌、潘立宙等人的拓广，研讨班出版文集《弹性薄板大挠度问题》（1954），此文集1957年被译成俄文在苏联出版；主要成果在第九届国际理论与应用力学大会（ICTAM1956，国际力学界四年一届的“力学奥运会”）上做了交流，受到广泛关注和好评；国际上的著名力学界（如美国麻省大学的Nash等）积极跟进，做了拓广。
其中，最为精彩的可圈可点之处在于：
1. 这是在弹性力学领域中首次发展和运用参数变形法；
2. 把已知的均布载荷用未知的无量纲中心挠度做渐近展开，令人匪夷所思；
3. 在当时计算条件不佳的情况下，用电动计算器所做的计算，40年后经钱先生的学生用电子计算机细致验算，结果准确无误（也包括下一节中的计算）。
我们还要特别指出，已回国的钱伟长先生没有把他的上述重要文章投向国外的杂志，而是投到当时国内的物理学的主流刊物《中国物理》（目前的“Chinese Physics B”，即CPB的前身），并引起了国际力学界的注意。
这是钱伟长先生在奇异摄动理论方面的第二项最重要的工作。有关要点如下：
第一，钱伟长先生对创建合成展开法的贡献是由武汉大学奇异摄动理论专家周焕文发掘出来的，在全国首届奇异摄动理论研讨会（1979）上做了报告（见[1]）；
第二，就在1979年的会议上，笔者问钱伟长先生这一方法的思路来历，他做了绘声绘色的描述，提出了对边界层处理的“放大镜”和“慢镜头”的比喻，当年我据此写了一篇科普文章，发表在《解放日报》上。
钱伟长先生在奇异摄动理论及其应用方面还做了很多工作，在笔者参与编集的《钱伟长学术论文集》中的108篇论文中，有1/4与摄动有关，其中最令人欣赏的工作是他在1940年代关于超声速锥型流分分析方面的工作，其要点描绘于下：
l 创新点：采用了非幂函数渐近序列进行摄动展开
更详细的描述可参看[3]。
五、结束语
让我们好好地向科学大师学习，努力做开创性的工作，使得他们开创的事业后继有人！
参考资料：
1 钱伟长（主编），奇异摄动理论及其在力学中的应用，科学出版社，1981
2 奈费 AH，摄动法，王辅俊等译，上海科技出版社，1987
3 程昌钧，钱伟长先生对力学和应用数学的贡献，力学进展，40（5）（2010）
定稿于2012年10月22日晨
https://blog.sciencenet.cn/blog-330732-624939.html
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