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具体计算一下就更清楚啦(附: 整数相乘及数据拟合)

已有 1809 次阅读 2019-3-19 12:31 |个人分类:教学|系统分类:教学心得| 弹性力学, 胡克定律, 折射定律, 最小作用原理

给研究生讲《岩石力学》,当然要先复习弹性力学。说到胡克定律,即力与变形成正比,比例系数是刚度;

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又说,不同的构件刚度不同;设想以不同长度、不同截面的杆件进行试验,容易知道“单位长度的变形与单位面积的受力成正比,比例系数是杨氏模量”

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继而逐段显示

        Thomas Young described the characterization of elasticity that came to be known as Young's modulus, denoted as E, in 1807, and further described it in his Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts.

        However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782 – predating Young by 25 years.

        Furthermore, the idea can be traced back to a paper by Leonhard Euler published in 1727, some 80 years before Thomas Young.

略作解说后覆盖Thomas Young1773.06.13 ~ 1829.05.10)的画像,在其下方切入文本框“Hooke’s Law: 1676~1678”。我说,

从胡克的刚度到杨的模量花去了120年;利用杆件的假想试验,不是很容易知道吗?没有难度啊。假想试验,伽利略(1564-1642)就知道,说轻重物体下降速度相同。伽利略比我大400岁,他过世时胡克也就78岁。

伽利略没有在比萨斜塔做试验,做了也不会有可信的结果。如果你一手抓一个木球,一手抓一个铅球,从这窗口同时丢下去,或许木球先着地呢。真有人用许多大学生做试验摄像。铅球有木球的十倍重,抓着总是费劲,松开也就会有些迟钝。倘若慢了0.05 秒,会有什么结果,算一下就知道了。 

最后介绍有限元方法。从最小作用原理说起,说明了光线折射定律等价于 Fermat 的光行最速原理。又说,最初认为光线的入射角与折射角的比值为常数,而不是正弦比为常数。试验数据确实容易产生这样的误解。具体计算一下就知道了。

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因为时间有些紧张没有在课堂上计算,当然也是希望听者能够自己计算。现在把计算结果贴在下面,并在图中略作说明。

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附1: 张老师博文“野蛮计算介绍了116年前F. N. Cole 用三年的星期天完成的整数分解;并给出了一个多小时完成的 2^67 的计算。上课前向研究生介绍了这篇博文,说“做事就得像Cole这样,不管到什么时候,都是自己的活儿”,也说了自己如何做这样的乘法。

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 张老师用时主要在“十位数的2^32 自乘以得到2^64”。我觉得如此相乘需要进行繁琐的加法,耗费时间且容易出错。进行多次乘8 的运算似乎反而容易。大数乘以71,只能进行如下的竖式计算;不过,若乘以72,则可分解为乘以8、再乘以9。

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2^10=1,024=10^3+A,而

(2^10)^2=10^6+2A(10^3)+A^2=1,048,576=10^6+B ,那是一眼可以看出;于是

2^60=(10^6+B)^3=10^18+3B(10^12)+3B^2(10^6)+B^3

注意到B= 48*(10^3+12) 计算不难;最后乘以8、乘以8、乘以2,可得2^67 

附录2: 若试验条件与结果是离散的数据,通常需要寻找合适的公式表示两者之间的关系。例如,圆柱型岩石试样的轴向压缩强度σS随侧向的围压σ2=σ3 增加,两者之间的关系称为强度准则。笔者2008年提出含有3个待定参数的指数型公式 – exp(–cx拟合试验数据;去年又从另一个角度解读了拟合公式,得到了有趣的结果。对于岩石力学性质的准确理解源于拟合方式的准确选用。下面以两组岩石的强度数据略作说明。

You M. True-triaxial strength criteria for rock. Inter J Rock Mech Min Sci, 2009, 46(1): 115–127.

尤明庆基于指数准则在莫尔空间对岩石剪切强度的研究.力学学报, 2019, 51(2): 607-619

Rock1.jpg 

上图给出了以“偏差绝对值之和”及“偏差平方值之和”最小的两种拟合结果。通常都是用后者(图中红线),有时也称为最小二乘法;若用直线拟合则称为线性回归。

不过,影响试验结果的因素众多,有时可能出现奇异数据。如以“偏差平方值之和”最小拟合,拟合曲线(图中红线)就要迁就奇异数据,不使其产生过大偏差;而以“偏差绝对值之和”最小拟合(图中黑线),那么拟合曲线会尽可能靠近多数数据,而使个别异常数据有较大偏差。另一方面,若删除个别异常数据重新拟合,两种拟合所得结果几乎与图中黑线相同。这也表明以“偏差绝对值之和 最小的拟合结果正确地展示了岩石的强度特性。 

You M. Inter J Rock Mech Min Sci, 2012, 54: 114–124, and  2011, 48: 852–863

笔者觉得,不宜将公式变形之后进行线性回归,尽管某些书中称之为计算技巧。岩石强度的相关问题烦请参阅上列拙稿,下面仅以示例略作说明。

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两次试验各得到8组数据,在图中标出。预测公式y = sqrt(mx) 可以表示试验条件与结果 y 之间的关系;因为数学上的困难,将公式转换为y2 =mx+而进行线性回归,得到参数mQ后,绘出图中红色和蓝色曲线。不过,如直接以拟合偏差绝对值之和

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最小为目标搜索参数,得到= 10和= 1,拟合曲线通过7个点,仅 = 1 处有约6% 偏差。 

上面的数据固然是认为设定的,但将公式变形之后最小二乘法,所得拟合结果可能掩盖某些试验现象:单个数据的误差会对整体结论产生影响。这显然不符合实际情况。



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