【拓扑不动点类理论是由中国拓扑开山鼻祖-江泽涵先生介绍到中国。近些年来，其弟子姜伯驹先生及其团队取得了丰硕的成果，一直引领国际潮流。我们向中国拓扑学的前辈们致敬！】

求解方程一直是数学发展的一个源动力，通常求解方程等价于求算子的不动点。如果算子的作用域的拓扑比较复杂，并且算子有扰动，不动点的行为分析就非常有挑战性。关于不动点有三个层次的问题，深刻程度有所差异，所使用的工具也截然不同。第一个层次是不动点的存在性问题，其解答是莱夫希茨（Lefschetz）理论，所用工具是同调论（请看前面有关讨论【大数据拓扑分析的基础-同调理论】）；第二个层次是不动点几何个数的下界，其答案是尼尔森（Nielsen）理论，所用工具是同伦论（请看前面有关讨论【庞加莱的洞察-同伦群的概念】）；第三个层次是下界是否可以达到，所用工具已经超出代数拓扑，而是瑟斯顿的曲面自映射分类理论，属于几何拓扑，与微分几何和共形几何紧密相连。

当然，最后还有一个层次，那就是不动点的计算问题。虽然理论日臻成熟，算法方面几乎一片空白。我们期待在不久的将来，依随科技的进一步发展，工程或医疗领域对曲面自同胚的不动点计算提出迫切要求，那么这个领域将会一日千里。

存在性问题-同调方法

考察曲面自映射，点被称为是不动点，如果，所有不动点的集合记为。曲面可以表示成单纯复形，映射用单纯映射来逼近。由单纯代数拓扑，曲面可以表示成链复形，

映射表示成链映射。链映射为线性映射，可以表示成矩阵。如果存在单纯形，自身映到自身，那么根据布劳威尔不动点定理，存在一个不动点,。因此，我们考察链映射对角元素之和，即矩阵的迹，然后求交错和

,

这个数被称为是映射的莱夫希茨数（Lefschetz number）。莱夫希茨数非零，则映射存在不动点，亦即莱夫希茨数非零是不动点存在的充分条件。

但是，莱夫希茨数非零不是不动点存在的必要条件，有可能映射存在不动点，但是莱夫希茨数为零。这是因为不动点存在代数指标。假设不动点，我们找一个邻域包含不动点，构造映射

那么映射将邻域的边界映到单位圆周上，诱导同调群映射

, 并且，这里整数被称为是映射的代数指标。如果映射存在不动点，但是不动点的代数指标之和为0，则映射的莱夫希茨数也为0。因此莱夫希茨数非零不是不动点存在的必要条件。

莱夫希茨数的计算依赖于三角剖分，实际中无法直接施行。莱夫希茨数的贡献在于他洞察到莱夫希茨数的计算独立于三角剖分的选取，只需要用到同调群即可。我们观察链空间的直和分解：

,

这里是闭链子空间，并且

,

这里是边缘链子空间，是下同调群。边缘算子在子空间上的限制是同构，

，

同时对于单纯映射，我们有

, 因此下面图表可交换：

，

, 我们得到。

因此，莱夫希茨数

换言之，

，

这里是同调群间的同态。

由此可见，莱夫希茨数的计算不依赖三角剖分的选取，只和同调群之间的同态有关；同时，我们知道，如果两个映射彼此同伦，则它们诱导相同的同调群同态, 因此它们具有相同的莱夫希茨数 。

几何个数下界-同伦方法

莱夫希茨理论只给出了所有不动点的总代数指数和，但是当映射进行同伦变换的时候，不同的不动点可能合并或分离。我们下面给出一个实例。

图1. 曲面上切矢量场的零点对应着不动点。

假设曲面上存在一个光滑切矢量场，我们可以构造同伦于恒等映射的自映射，那么矢量场的零点对应着映射的不动点，更进一步，矢量场零点的代数指标等于不动点的代数指标。

图2. 平面函数的梯度场，两个极值点（极值点，鞍点）可以合并。

如图所示，我们定义平面上函数的梯度场，函数的极值点对应着梯度场的零点，局部极大点的零点指标为+1，局部鞍点的零点指标为-1，我们渐变函数，使得极大点和鞍点彼此靠拢，合并而湮灭，相应的两个零点会彼此靠拢，合并而湮灭。对应的的两个不动点也会合并而湮灭。在矢量场渐变的过程中，所有的都彼此同伦，并都同伦于恒同映射。这个例子显示了指标互反的不动点，在映射的同伦变换下能够彼此合并而湮灭。

那么，在映射同伦变换下，什么样的不动点能够彼此靠近，合并并湮灭？什么样的不动点无法融合？尼尔森理论对此给出了回答。本质上，

尼尔森理论是基于同伦论的，特别是万有覆盖空间理论（请看以前讨论【高瞻远瞩-万有覆盖】）。这再一次验证了我们以前提到的观点：同调论舍弃的信息过多，结论比较粗糙；同伦论保留了更多的信息，从而可以更好地反映精细的结构。

根据我们以往的经验，对于拓扑上的问题，我们可以将其提升到万有覆盖空间上，这样往往会给人更多的洞察。假设是的万有覆盖空间，是投影映射，万有覆盖空间之间的映射是映射的提升，

我们将提升进行分类，两个提升彼此等价，如果存在一个甲板映射，使得，

即下面图表可交换，

每一个提升等价类被称为是一个提升类。映射的所有提升类的个数被称为是这一映射的Reidemeisters数，记为。

1. 考察提升的不动点， 提升的不动点的投影必为映射的不动点，如果，那么。

2. 对于映射的任意一个不动点, 存在一个提升，和提升的一个不动点，使得。

3. 如果彼此等价，并且，那么必有。因此彼此等价的提升的不动点集合一一对应，，它们的投影重合，。

4. 如果彼此不等价，那么它们不动点的交集为空，    。

由提升的等价类，我们可以将映射的不动点分类，每一不动点类对应一个提升类。假设原来映射的两个不动点，如果存在一个提升,使得的不动点覆盖它们，，则我们说这两个不动点等价。这样，我们将原来映射的所有不动点分类，每一类就叫不动点类。

不动点类和提升类一一对应，同一类的所有不动点可以在映射同伦变换下合并融合，或相消湮灭。不动点类中所有的不动点代数指标之和被称为这一不动点类的指标。如果不动点类的指标非零，则这一类被称为是本质的不动点类，否则是非本质的。给定映射，所有本质不动点类的个数被称为是这一映射的尼尔森数(Nielsen number)， 并记为。尼尔森数映射不动点几何个数的下界，

。

不动点达到下界 下一个的问题自然是什么时候，自映射不动点的几何个数达到下界，等于尼尔森数。1942年，Wecken证明：如果流形M的维数大于等于3，那么自映射不动点的几何个数等于尼尔森数。因此，曲面情形成为悬而未决的问题关键。

1984年，姜伯驹先生证明了如果曲面的欧拉示性数为负，则存在自映射，任何和此自映射同伦的映射的不动点个数严格大于尼尔森数；1993年，姜先生团队进一步证明，如果M是紧曲面（封闭或带边界），f为拓扑同胚，那么同胚的最少不动点个数等于尼尔森数。

几乎所有近期的进展所用的方法都已经超越了传统代数拓扑方法，都是基于瑟斯顿的曲面微分同胚的分类定理：曲面到自身的微分同胚可以分成三类1）周期的(Periodic)，, 存在一个双曲度量，在微分同胚的作用下不变，；2）pseudoΆnosov，微分同胚保持两个相截的叶状结构不变；3）可降解(Reducible)，微分同胚将一族分离的简单闭曲线映到自身，将曲面分割成不同的联通分支，微分同胚在每个联通分支上归结为前两种情况。（请看前面有关瑟斯顿定理的证明的概略讨论【万变不离其中-不劳威尔不动点】）

瑟斯顿的理论属于几何拓扑领域，对于曲面同胚的分析和理解远比同调同伦理论透彻细致。在未来的讨论中，我们会进一步详细介绍瑟斯顿的工作。

不动点类的计算

目前有关计算尼尔森数乃至曲面自映射的不动点的算法程序还没有出现。如何表示复杂拓扑曲面间的映射，如何为曲面配上合适的黎曼度量，如何在映射同伦类中找到合适的代表，如何计算不动点的指标，这些都对目前的计算数学提出了强有力的挑战。但是另一方面，目前似乎还没有为这套理论找到合适的应用。我们相信，不久的将来，依随科技的发展，复杂流形的不动点计算必然会成为关键技术，在工程和医疗领域大显身手。

讨论

不动点类理论的发展历史完美地展现了人类探索自然的历程，从同调到同伦，再到瑟斯顿理论，从肤浅到深刻，从粗略到精细，从片面到全面。下一步的挑战是如何将完美的理论付诸实现，设计高效和实用的算法，从认识自然到改造自然。

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【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。