由庞加莱猜测，我们知道：相对于曲面而言，同伦群和同调群保留了相同的信息，因此彼此等价；对于三流形而言，同伦群反映的信息远远多于同调群，同伦群强于同调群。但是，同伦群本身为非阿贝尔群（非交换群），判定两个非阿贝尔群是否同构是非常繁难的问题。相反，同调群是同伦群的阿贝尔化，阿贝尔群的计算只需要线性代数。因此，同调论在大数据分析和物联网领域被广泛应用。

图0.同伦群是非阿贝尔群。

如图所示，环路无法在曲面上缩成一个点，因此同伦群中，同时，我们得到。因此亏格为2的曲面的同伦群不可交换。

我们记的中心交换子群为所有形如生成的正规子群，

那么商群

为一阿贝群，即为曲面的一维下同调群。换句话说，同调群是同伦群的阿贝尔化。

环路在同伦群中不是单位元，但是在同调群中却是单位元。几何上来看，将曲面分成两个连通分支，是其中一个分支的边缘。这意味着，在同调群中，边缘环路被视为单位元。

同调群概念的要义在于：边的边为空，圈和边的差别就是同调。

同调群的概念

单纯复形是曲面三角剖分的直接推广，但是单纯复形可以表示更为广泛的拓扑空间，例如非流形的空间。

单纯形 给定中一般位置的个点，维单纯形是这些点构成的凸包(convex hull)，

我们称为单纯形的顶点。如果另外一个单纯形包含在中，，我们称是的一个面。

单纯形是有定向的，每一个单纯形有两个定向，单纯形的定向由其顶点的排列给出。我们考虑数列的所有排列，它们构成对称群，其中所有由偶次对换（即只交换两个数的位置）构成的子群记为。如果排列属于，则单纯形的定向为正，反之定向为负。

通常意义下的点，线段，三角形，四面体就是0到3维的单纯形。

单纯复形 单纯形粘贴在一起就构成单纯复形。所谓一个单纯复形就是一组单纯形的并集，满足两个条件，

1. 如果一个单纯形属于，那么的所有面都属于，

2. 如果两个单纯形都属于，，那么或者它们的交集为空，或者它们的交集是它们共同的一个面。

通常意义下，曲面的三角剖分就是单纯复形。

图1. 复形上的1维和2维链。

链群 给定一个单纯复形，一个维链就是所维单纯形的线性组合，如图1所示，

,

所有的维链在加法下成一阿贝尔群（可交换群），记为,

.

其中零元为，的逆元为.

图2. 边缘算子。

边缘算子 维边缘算子是链群之间的一个同态

,

作用在单纯形上

,

作用在链上

。

直观上，边缘算子就是剥离每个链的边界。

通过直接计算，我们可得到

，

亦即边的边为空。

图3. 闭链和开链。

同调群 维链被称为是闭链，如果。所有的维闭链构成的一个子群，记为；如果存在一个维链，满足，那么被称为是恰当链，所有维恰当链构成一个子群，记为。因为边的边为空，所以恰当链必为闭链，

。

给定单纯复形，我们得到链复形，

具有条件。

图4. 恰当闭链和非恰当闭链。

综上所述，边（恰当链）一定是圈（闭链），圈可能不是边。圈和边的差别就是同调

，

如图4所示，左帧显示了恰当的闭链，每一个闭链都包围着一个曲面区域，因此是边缘。右帧是非恰当的闭链，这条链并不包围任何一个曲面区域。如果我们把曲面沿着切开，我们得到一个圆筒面，圆筒面有两个边缘曲线，

，

但是本身并不构成圆筒面的边界。

我们将单纯复形的所有同调群放在一起，记为。

同调群的计算

曲面一维同调群的基底和曲面基本群基底相同，我们可以用基本群的组合算法来计算一维同调群基底。高维同调群的算法基于线性代数的矩阵特征值和特征向量算法。

我们可以将链群视为线性空间，边缘算子是线性算子，因此可以被表示为矩阵。假设复形所有的维单纯形为

，

它们线性张成维链群

；

复形所有的维单纯形为

它们线性张成维链群

。边缘算子具有矩阵表示，

,

这里连接数是一个整数，定义如下：如果，则为0；如果是的一个边缘面，，则为+1；如果是的一个边缘面，，则为-1。

如此，我们构造离散拉普拉斯算子：

,

的基底是的对应于0特征根的特征向量。

这里，是整数矩阵，存在Smith 标准型（Smith Normal Form）：存在可逆整数矩阵和, 为对角阵，

这里, 整除，并且

是所有阶子矩阵行列式的最大公因子。

大数据的拓扑分析

图5.持续同调(Persistent Homology)。

同调理论在大数据拓扑分析中举足轻重，近些年来Persistent Homology方法被工业界广泛应用。一般商业数据，多半表示成高维空间中的点云。比如我们研究一位病患，我们将每一项检测指标作为一个维度，将病人表示成空间中的一个点。假如我们有高维空间中的点云数据，围绕每个采样点，我们做一个半径为的小球。如果两个小球相交，我们加上一条连接两个采样点的边，这样我们得到一个Cech复形（Cech Complex），记为。Cech复形中k-完全子图被视为k维单纯形，因此，Cech复形成为一个单纯复形。我们可以计算其同调群。那么的生成元代表了Cech复形各个维数的“孔洞”。我们然后变化半径，从而得到一系列的同调群，和一系列的“孔洞”。依随半径的变化，如果有些“孔洞”出现后迅速消失，则这些孔洞多半是噪声；如果有些孔洞持续存在，则它们应该是真正的拓扑特征。

图6. 无线传感器网络-空洞检测。

同调理论在物联网领域也有广泛应用。如图6所示，我们计划用无线传感器网络来完全覆盖一个平面区域。每个传感器覆盖一个半径为的圆盘，那么它们的并集是否存在孔洞。这可以用Persistent Homology类似的手法求出。如果一维同调群非平庸，则必有孔洞存在。孔洞的边缘也可以精确求出。

讨论

为了计算的便利，同调群舍弃了空间的大量拓扑信息。同调群同构的空间不一定拓扑同胚。那么，如何刻画同调群同构的空间呢？我们会在后面章节予以彻底揭示。

【老顾谈几何】邀请国内国际著名纯粹数学家，应用数学家，理论物理学家和计算机科学家，讲授现代拓扑和几何的理论，算法和应用。