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绝妙的证明 精选

已有 4204 次阅读 2020-1-12 22:53 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 数学物理

欧拉.jpg

1.  欧拉(Leonhard Euler)是历史上最伟大的数学家之一。欧拉的数学著作有70卷之多,是历史上最高产的数学家。


    当我们读数学和物理时,会在不同的情景下遇到欧拉。例如,复变函数论中的欧拉公式堪称最美丽的数学公式,欧拉-拉格朗日方程是变分法和现代理论物理学的基石,拓扑学中的欧拉示性数对几何产生深远的影响等。


    著名数学家拉普拉斯说:“读读欧拉吧,他是所有人的老师”。而物理学家阿拉戈则形容道:“欧拉计算毫不费力,就像人呼吸,或者鹰在风中保持平衡”。


    这篇短文介绍欧拉的一个证明,我们可以从这里体会欧拉推理的绝妙。这些绝妙的证明是人类智慧的瑰宝。


2.   欧拉思考一个问题:

 (1)

    此时,通过伯努利兄弟的工作,数学家已经懂了调和级数是发散的,即:∑n=1(1/n)=∞. 可是人们不会算(1)所示的无穷级数和。人们猜想这个求和是收敛的,且收敛值小于2。欧拉解决了这个难题,他的计算奇妙地发现这个自然数平方的倒数和竟与周期性(圆周)运动有关。


    欧拉的证明大致如下:

    构造函数: f(x)=sinx/x. 则有:

        (2)

立即知道:f(0)=1. 现在寻找f(x)的零点。易知,零点由sinx=0决定,即x=±nπ,n=1,2,3,... 注意x=0不是零点,需排除。


    找到函数的零点后,结合f(0)=1,就可将函数写作:

 (3)

    让我们对比(2)和(3),由x2项系数马上得出:

              (4)

至此,欧拉找到了困扰数学界几十年的问题答案。该无穷级数收敛,收敛值大约等于1.6449...,小于2,且收敛值奇妙地与π有关。


    进一步,容易知道,若将(4)左右同乘(1/2^2),则得:

           (5)

(4)式减去(5)式,则得:

         (6)


3.  现在我们知道,(1)式要算的是黎曼zeta函数(Riemann zeta Function)在z=2处的值。

    具体来说,黎曼zeta函数的级数定义为:

          (7)

    该定义可以解析延拓(Analytic Continuation)至整个复平面,黎曼zeta函数是亚纯函数(Meromorphic Function),在z=1有唯一的一个简单极点(Simple Pole).除了z=-2n (n=1,2,...)这些平凡零点外,黎曼(Riemann)猜测,该函数所有的非平凡零点(Non-trivial Zero)位于复平面上一条平行于虚轴,实部为1/2的直线上,该线称为临界线(Critical Line),这就是黎曼猜想(Riemann Hypothesis),数学上最重要的猜想。



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