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柯西定理

已有 2263 次阅读 2020-1-11 12:35 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 数学物理

    柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理,其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。


    柯西定理说:解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。


(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):

  (1)

[注:格林定理可以直接证明,亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。]

以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):

                     (2)

    具体而言:

                                                                                                                                                             (3)

现在:1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用(2),环路积分为零得证。


(II) 另一个角度,可证明如下:

    对于解析函数,由柯西-黎曼方程可知:(3)中的实部:udx-vdy 和虚部:vdx+udy 分别是全微分形式,可写作某实函数的全微分:

     (4)

实函数全微分的环路积分为零



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