1. 排列组合问题在中学时已为人熟知，箱中放球时，我们遇到了阶乘函数(Factorial)。

    (1)

这里，放球问题要求n是正整数：n=1,2,3,...由(1)易得递推关系：(n+1)!=(n+1)n!. 

    好奇而善思的中学生会问：若跳出箱中放球的物理情景，可否问0的阶乘为何？进而，负整数的阶乘为何？这种追问就将n的定义域推广至整数集，是一种建设性的思考方式。

    为回答此问，我们由(1)写出：

  (2)

从(2)看出，0!=1，这保证了(n+1)!=(n+1)n!的自洽性。更重要的是，我们发现，若保持(2)，则对于负整数n=-1,-2,...，n!是一阶无穷大。

    那么，我们能否进一步问实数乃至复数的阶乘为何？

    答案是可以。我们可通过解析延拓(Analytic Continuation)将n!延拓至z!(z是复数)，这导致了伽马函数(Gamma Function)。伽马函数是广义阶乘函数，是一个定义于复平面上的亚纯函数(Meromorphic Function)。

2. 让我们首先寻找n!满足的积分表达式。我们知道:

 (3)

此即幂函数tⁿ的拉普拉斯变换(Laplace Transform)。

    取s=1，有：

            (4)

    延拓n至复数z:

 (5)

这里，我们引入了定义在复平面上的广义阶乘函数，即伽马函数：Γ(z+1)=z!。(5)式是伽马函数的积分定义，此定义成立的区域是：Re(z)>-1。利用阶乘函数的递推关系(函数方程)：Γ(z+1)=zΓ(z)，(此关系利用积分定义易证)，我们将伽马函数延拓至整个复平面。由(2)已知，伽马函数Γ(z)的所有奇点在z=0,-1,-2,...，为简单极点，因此Γ(z)是亚纯函数。我们可以计算留数(Residue)如下：

 (6)

3. 对(4)做变量代换，定义：x=tⁿ⁺¹，则有：

 (7)

    定义：α=1/(n+1)，则有：

             (8)

    因此，伽马函数联系着指数函数的不同形式。由(8): 取α=1，即指数衰减，得出：Γ(1)=1; 取α=2，即高斯分布，得出：;进而利用递推关系，容易得出：

 (9)

    然而，对于α=3，4等，即Γ(1/3)，Γ(1/4)等，没有简单的解析表达式，已经证明，这些值均为超越数。

4. 伽马函数衍生出贝塔函数(Beta Function):

 (10)

对m,n实部的要求是为了积分定义的收敛，然而用第一个等式，可将贝塔函数延拓至复平面。

    若取m+n=1,因为Γ(1)=0!=1，有：B(m,1-m)=Γ(m)Γ(1-m)，可以证明一个极为有用的等式：

 (11)

该式两边显然有相同的奇点结构。若两边同乘z,则有：

   (12)

此式将正负的阶乘联系了起来。

5. Stirling公式

   Stirling近似是统计物理里的一个公式，我们推导之。

 (13)

其中，t₀=n是f(t)的极大点；最后一个约等里用了n→∞. (13)式是Stirling近似的首项，而Stirling近似是n!之渐近展开。若在n→∞时进而舍去高斯积分项，即n!≈(n/e)ⁿ，则lnn!≈nlnn-n.

    若将伽马函数延拓至复平面，对应于(13)的计算将发展成一种称为鞍点方法(Saddle Point Method)的计算。为何是鞍点，因为复变函数在复平面的解析点无极大或极小点，而仅有鞍点。依赖于函数的振幅决定于实部或虚部，鞍点方法又分为最陡下降法(Steepest Descent Method)和稳相近似法(Stationary Phase Method)，均导致相应渐近分析的首项。

(6)与黎曼zeta函数的关系：

 (14)

证明：

                                                                                                                                                  (15)