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从阶乘说开去

已有 1743 次阅读 2020-1-30 00:01 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 数学物理, 统计物理

Gamma.jpg 

1. 排列组合问题在中学时已为人熟知,箱中放球时,我们遇到了阶乘函数(Factorial)。

    (1)

这里,放球问题要求n是正整数:n=1,2,3,...由(1)易得递推关系:(n+1)!=(n+1)n!. 


    好奇而善思的中学生会问:若跳出箱中放球的物理情景,可否问0的阶乘为何?进而,负整数的阶乘为何?这种追问就将n的定义域推广至整数集,是一种建设性的思考方式。


    为回答此问,我们由(1)写出:

  (2)

从(2)看出,0!=1,这保证了(n+1)!=(n+1)n!的自洽性。更重要的是,我们发现,若保持(2),则对于负整数n=-1,-2,...,n!是一阶无穷大。


    那么,我们能否进一步问实数乃至复数的阶乘为何?


    答案是可以。我们可通过解析延拓(Analytic Continuation)将n!延拓至z!(z是复数),这导致了伽马函数(Gamma Function)。伽马函数是广义阶乘函数,是一个定义于复平面上的亚纯函数(Meromorphic Function)。


2. 让我们首先寻找n!满足的积分表达式。我们知道:

 (3)

此即幂函数tn的拉普拉斯变换(Laplace Transform)。


    取s=1,有:

            (4)

    延拓n至复数z:

 (5)

这里,我们引入了定义在复平面上的广义阶乘函数,即伽马函数:Γ(z+1)=z!。(5)式是伽马函数的积分定义,此定义成立的区域是:Re(z)>-1。利用阶乘函数的递推关系(函数方程):Γ(z+1)=zΓ(z),(此关系利用积分定义易证),我们将伽马函数延拓至整个复平面。由(2)已知,伽马函数Γ(z)的所有奇点在z=0,-1,-2,...,为简单极点,因此Γ(z)是亚纯函数。我们可以计算留数(Residue)如下:

 

 (6)

              

3. 对(4)做变量代换,定义:x=tn+1,则有:

 (7)

    定义:α=1/(n+1),则有:

             (8)

    因此,伽马函数联系着指数函数的不同形式。由(8): 取α=1,即指数衰减,得出:Γ(1)=1; 取α=2,即高斯分布,得出:;进而利用递推关系,容易得出:

 (9)


    然而,对于α=3,4等,即Γ(1/3),Γ(1/4)等,没有简单的解析表达式,已经证明,这些值均为超越数。


4. 伽马函数衍生出贝塔函数(Beta Function):

 (10)

对m,n实部的要求是为了积分定义的收敛,然而用第一个等式,可将贝塔函数延拓至复平面。


    若取m+n=1,因为Γ(1)=0!=1,有:B(m,1-m)=Γ(m)Γ(1-m),可以证明一个极为有用的等式:

 (11)

该式两边显然有相同的奇点结构。若两边同乘z,则有:

   (12)

此式将正负的阶乘联系了起来。


5. Stirling公式

   Stirling近似是统计物理里的一个公式,我们推导之。

 

 (13)

其中,t0=n是f(t)的极大点;最后一个约等里用了n→∞. (13)式是Stirling近似的首项,而Stirling近似是n!之渐近展开。若在n→∞时进而舍去高斯积分项,即n!≈(n/e)n,则lnn!≈nlnn-n.


    若将伽马函数延拓至复平面,对应于(13)的计算将发展成一种称为鞍点方法(Saddle Point Method)的计算。为何是鞍点,因为复变函数在复平面的解析点无极大或极小点,而仅有鞍点。依赖于函数的振幅决定于实部或虚部,鞍点方法又分为最陡下降法(Steepest Descent Method)和稳相近似法(Stationary Phase Method),均导致相应渐近分析的首项。


(6)与黎曼zeta函数的关系:

 (14)

证明:

                                                                                                                                                  (15)



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