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对偶

已有 2145 次阅读 2020-2-2 17:54 |个人分类:专业科普|系统分类:科普集锦| 统计物理, 数学物理

Duality-1.jpg 

    对偶 (Duality) 是统计物理,场论,乃至弦论里极为重要和深刻的观念。通过对偶操作,将模型之强弱相互作用相联系是一种重要的理论手段。本文通过一个求和问题对这一观念进行简单演示,期望可以透露出一点对偶观念的奇妙味道。


    考虑如下模型:

  (1)

其中,K代表耦合强度。为求解之,我们将利用泊松求和公式 (Poisson Sum)。下边我们先证明泊松求和。


    我们写出:

 (2)

此式是一个傅里叶级数 (Fourier Series)。左侧狄拉克 delta 函数和定义了一个周期为1的函数,写出其复形式的傅里叶级数即得右侧。


    将(2)式两侧同对函数 f(x) 在 [-∞,∞] 积分,得:

 (3)

其中,F(k) 是 f(x) 的傅里叶变换 (Fourier Transform)。此即泊松求和公式。


    现在回到我们的模型(1)。我们有:

 (4)

利用(3),得:

 (5)

这里,D(K)=1/K,D代表对偶操作,显然满足:D(D(K))=K. 对偶操作将耦合强度 K 变为 1/K,实现强弱对偶。而(5):Z(K)=Z(D(K)) 显示了我们研究之模型的对偶对称 (Duality Symmetry)。



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1 刘全慧

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