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刻舟求鱼,奇点和瞬变的一些有趣问题

已有 2764 次阅读 2016-12-22 10:29 |系统分类:科普集锦

岳东晓的一个计算引起了科学网上大乱斗,前因后果大家自己去理顺序就好,这里给出链接

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主要问题就是,他算的结果是,如果人从船上跳起来,如果船够重人跳跃的距离够长,那么人落回船后船会精确地回到原地。这事一则明显和我们的直觉对不上,二则又和阻力等于0的已知极限解匹配不上。

关于极限解的问题还稍微好一点,因为k等于0的解是S0k不等于零的解大致是s0*exp(-kT),而两者在T有限的时候其实是一样的:只要T有限,这俩在k->0的时候都会趋于s0。只有在你先取T->无穷的极限的时候才会有区别,但是k->0,T->无穷的话,k*T其实是个不定式,它可以等于任何数值,也就是数学上这个解已经没有意义了,所以先取T->无穷的极限本身就不正确,也就不用太在意匹配的上匹配不上的问题。

真正的物理问题倒是,如果真的取一个摩擦够大,船也够重,以至于流体基本在斯托克斯公式条件下流动的话,船会回到原位吗?很明显,这里的推导依赖于流体摩擦f=-kV,有几位朋友提议了平方速度关系,或者跳跃瞬间的动量损失等等,但从力学原理上看似乎都没什么说服力。毕竟起跳瞬间太短,冲量损失有限,而平方速度关系等等都是对船速较高的状态,只要船够重导致反冲速度不高,这些都不重要。那么,问题在哪里?

一般教科书会告诉我们,在船速很低的情况下,f=-kV公式是正确的。但是,实际上这个公式来源于稳定流,而在人起跳和落船前后,船速都要有一个瞬变过程,在流体角度看来,这就是一个瞬态演化问题,那么,稳流的流体摩擦公式还成立吗?

我先说明我不熟悉水流或者油流。我做的东西主要是等离子体,行为上有点类似稀薄气体。这东西和高密度低速度并且几乎不用考虑物质压缩性和波传递的液体流在流体力学中差距很大。不过下面只是简单的概念分析,应该还没有太大的问题。更详细的计算可以等我的兄弟们算一个详细的低速层流绕流结果再讨论。

我们考虑船向前开的情况,船本身受到水的阻力,让我们假定流动是层流形态,速度V0很低,f=-kV0公式成立。不管怎样,这个作用力只能是传给船周围的水,也就是说船周围的水其实在被船拖曳着向前流动(为了维持远区静水条件,这些水需要在船附近形成一个涡,在涡的外圈变成向后流动);船的后面会有一个低压区域,低压区后面的水会追过来补充这个区域。

现在你假设船突然停下,V=0。很明显水不能立刻停下:惯性在逼迫船附近的水继续往前流动,于是侧舷的水会反过来给船一个摩擦力;同时船后的水会由于惯性继续向前冲击船尾。于是这时候的船的受力不会等于-kV=0,相反它应该等于向前的kV0*f(t),f(t)是个衰减函数,比如可能类似于exp(-a T)这样,因为这个作用力一定要等到水速再次匹配船速并且周围的水流完全稳定下来才能消失,这样作用力的存在时间要远远长于船被瞬间停下的Dt

上面是V=0的情况,假如V不等于0呢?我们可以类似的猜测,作用力大概应该是k(V0-V)exp(-a T)这样。这里的关键是exp(-a T)这个时间衰减速度会非常慢,ak应该是同一量级的(因为都是靠水和船以及水和水之间的摩擦损耗掉速度差),也就是说,首先阻力公式在有速度瞬变的时候不成立;其次虽然起跳和落地都是瞬间的,但是水的阻力偏离-kV并不是瞬间的,而是会维持很长时间。

奇点不可达,瞬态因不是瞬态果,大概这就是问题所在了。

刚才想了一下,这个问题在极限下更容易看清楚:初始静止,船+人总动量为0;人在t=0时刻向右跳,船向左运动,两者动量大小相等方向相反,假设船速为V1;然后船受到水流的摩擦,会损失一部分动量;当人再落到船上时,人的动量数值比船稍微大些,于是船开始往右运动,不过这速度远远小于刚开始分离的速度,不妨设为V2;这时岳博士是按照-kV2算水的阻力,于是他算出船回到原位的时候正好速度为0;但是按照我说的逻辑,水现在其实在向左流动,速度大致是V1;所以水的摩擦力大致是k(V1+V2),这就比他算的减速快得多,所以船还没有回到原位就已经停了,也就是船的移动不会等于0。




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