状态空间中的大气-《气象随机场的分布函数及其转移矩阵》-（之12）

张学文，2014.7.16

上一讲我们介绍了统计物理学中的状态空间（相空间）概念以及它在气象问题上的使用。并且指出状态空间即可以表达一个自变量的气象分布函数，也可以表达两个或者更多个自变量的分布函数。

这样我们看到气象场的分布函数概念可以理解为大气在状态空间中的存在情况的表达。而话也可以反过来说：在状态空间中，它给出了地球的大气状态是如何分布的。而下面2007年我的文章（发表在沙漠与绿洲气象杂志）基本上表达了这些认识。它表达了地球大气在压力、温度、三维的风矢量这5个自变量构成的5维状态状态空间中的分布密度。该文原标题是广义大气密度函数，现在我们在状态空间中的大气分布标题下转帖其内容。（其中的图2就是前一讲中的附图）--张学文，2014年7月16日注。

广义大气密度函数

张学文

乌鲁木齐沙漠气象研究所，中国气象局，乌鲁木齐，830002

摘要

本文把大气密度函数的定义从几何空间扩大到相空间（如压力温度等），引入了广义大气密度函数概念、讨论了这个函数的计算方法和积分特点、给出了两个简单的广义大气密度函数实例,还讨论了相空间中的大气方程组问题。

关键词：大气密度，相空间

1.大气密度函数

      气象学把大气状态用气压 p温度T密度ρ和风矢量V在各地的数值表示。如以λ，φ，z，t分别表示空气所在的经度纬度高度和时间，地球大气状态可以用如下函数表示

 p=p(λ,φ,z,t)

T=T(λ,φ,z,t)

ρ=ρ(λ,φ,z,t)

v=v(λ,φ,z,t)

     气象观测（预告）的任务就是取得这个函数的当前值（未来值）。由于大气密度可以用气体状态方程的压力与温度计算出来,加之大气密度不是直接的观测量，人们在认识了大气密度的连续方程后就没有再多研究它。文献[1]从最大熵原理推出了关于大气密度的新方程，这提示我们从大气密度的侧面分析大气有其独到的优点。沿着这个思路，本文是把大气密度的定义从几何空间扩展到相空间，并且揭示其某些特点。

2.广义大气密度函数

大气密度函数ρ（λ,φ,z,t）的含义是t时刻在地球的λ,φ,z处的单位几何空间中的空气质量，它可以回答地球上的空气在高空密还是在地面处密集、在赤道处密集是在极地密集这样一些问题。但如果问：全部地球空气中是在高温处的空气多还是在低温处的空气多、是运动快的空气多还是运动慢的空气多或者处于高压下的空气多还是低压下的空气多？…大气密度函数就不能直接回答。为了研究地球全部空气在例如气压、温度、风矢量所构成的抽象的空间（相空间）中的疏、密程度的分布，本文引入了广义大气密度函数概念。

具体地说，t时刻在全球所有的空气中如果在元相空间（相体积）

p→p+Δp T→T+ΔT v→v+ΔV

内的空气元质量为Δm，那么t时刻广义大气密度ρ（这里仍借用原表示密度的符号）就是大气元质量Δm与元相空间 的比值（当每个元量都趋向无穷小时），即

      lim( Δm/ΔpΔTΔV)=ρ 

      由于这个比值不可能在相空间中的每个地方（相点）都相等，所以一般地说这个比值应当是相空间的位置和时间t的函数，即新定义的广义大气密度应当写成

      ρ(p,T,V)=)=lim( Δm/ΔpΔTΔV)

      广义大气密度函数ρ（,t）是t时刻全地球的空气中其压力、温度、风矢量为 处的单位相空间中的空气质量（后面对这个函数的定义要放宽）。由于风矢量本身是三维的矢量，所以广义大气密度函数是5维相空间中随时间变化的函数。它描述了全球大气质量于t时刻在气象变量构成的相空间中的分布情况。它为认识大气提供了一个新的视角，知道了这个函数就可以回答例如全球空气中是在高温处的空气多还是在低温处的空气多、是运动比较快的空气多还是运动慢的空气多或者处于高压的空气多还是低压下的空气多这些类型的问题。

3.如何求广义大气密度函数

现在全球有统一的气象观测网，如果从这个网上得到t₀时刻全球的气象观测数据，利用观测的气压、温度和气体状态方程就可以计算出全球的大气密度函数在空间的分布，即大气密度函数ρ（λ,φ,z,t₀）。

本文提出了广义大气密度函数的概念后又是如何得到这个函数以描述大气在相空间中的分布呢？实际上对全球的气象观测不仅得到了每个空间点的压力温度和风矢量值，也可以进一步统计、换算出不同的压力温度和风矢量下的大气各有多少的。而有了这些数据也就是求得了广义大气密度函数。在文献[2]中用相当的篇幅介绍了求“分布函数的方法”。在本文后面要说明那里讨论的分布函数就是这里的广义大气密度函数。所以可以从该文献中找到具体的换算出广义大气密度函数的方法,这里就不介绍了。明确了广义大气密度函数可以从已知的压力温度和风在全球的分布中换算出来，也就对这个函数有了进一层认识。

4.广义大气密度函数的积分

广义大气密度函数可以从全球气象观测数据中换算出来，但是5维相空间中的函数我们没有办法在两维的平面上表示出来。为了简化问题，讨论它的积分性质是有益的。

如果把大气密度函数ρ（λ,φ,z,t₀）对地球的经度作360度的积分，对纬度从赤道分别积分到南极和北极，对高度从地面积分到大气上界，那么应当得到全球大气的总质量M 即应当有

M=∫∫∫ρ=ρ(λ,φ,z,t)dλdφdz

模仿以上做法，但是把广义大气密度函数对压力温度和风矢量作5重积分（风的三个分量对应3重积分）也应当得到地球大气的总质量M（积分式略）。如果仅对温度和风矢量作积分，就得到了全部地球上的空气质量在压力构成的一维相空间中的分布。

ρ=∫∫ρ(p,T,v,t)dTdv

ρ=ρ(p,t)

    以上积分遍及地球大气温度和风矢量可能出现的所有区间，积分后得到的是单位压力范围内的大气质量，即包围着地球的两个相间为1（如1hPa）的等压面之间的空气质量。

      如果仅对风矢量作积分，应当得到在温度压力的两维相空间中的广义大气密度函数，即

   ρ=∫ρ(p,T,v,t)dv  

ρ=ρ(p,T,t)

这个两维的广义大气密度函数（它与状态方程不是一回事）表示了全球大气在由压力温度构成的相空间中的分布的疏密情况（t时刻）。即地球上不同压力和温度下的空气各有多少。

综合以上讨论可以看出对广义大气密度函数的积分如果遍及每个变量，积分后就得到地球大气的总质量，如果留有某个变量没有作积分而仅对其他变量积分，就得到一个新的维数比较低的一种广义大气密度函数。

有鉴于积分后的结果可能仍然是有广义大气密度函数的含义（仅是维数低了），我们没有必要限定仅有5维的相空间中的大气密度是广义大气密度函数。看来可以放宽对维数的限制，而且还可以放宽对变量的限制。

据此把地球上的广义大气密度ρ的定义改为

大气状态的变量（矢量，如压力温度或者经纬度等）有单位增量（单位相空间）时全地球大气质量的对应的增加量。

这里的理解为一个描述大气状态的多维矢量（也可以是一维的），它可以代表3维的几何空间中的坐标，也可以代表压力温度风或者位温比湿等等。而广义大气密度的值在不同的位置上并不相同（地球大气处于物理学意义下的非平衡态，物理学意义下的平衡态则是各处的密度相同）。

5.广义大气密度函数示例

前面的讨论比较抽象，但是当定义放宽后就可以在平面上用图表示低维的广义大气密度函数了。这里给出两张贴图，一个表示两种一维的广义大气密度函数，另一个表示在气压温度（两维）的相空间中的广义大气密度函数。

      图（1A）是早已熟悉的大气密度在高度上的分布的示意图。它清楚地显示了底层大气密集而高层大气稀薄的特点，它对应的大气密度函数是ρ=ρ(z) 。图（1B）表示的是大气密度在气压上的分布情况。它最突出的特点是无论气压高的地方还是气压低的地方大气密度（指气压的相空间中的大气密度）都是相同的。或者说在气压张开的相空间中地球上的大气质量呈现均匀分布。即夹在任何两个压力差相同的两个薄层间的空气的质量都是相等的。

为了证明以上认识现计算两个等压面ΔP之间的地球大气的质量：

依文献[2]的30~31页，设夹在p→p+Δp两个等压面间的大气质量为ΔM，而这两层之间的平均的大气密度（指几何空间中的密度）为ρ，大气质量ΔM为大气密度与体积Δv 的乘积，即有

ΔM=ρΔv

体积Δv显然是等压面间的高度差Δz与地球表面积s的乘积

ΔM=ρΔv

ΔM=ρsΔz

将精度很高的静力方程

Δp=-ρgΔz

代入，并注意到我们仅关心压力差的绝对值，就有

ΔM=（s/g）Δp

上式中g是重力加速度，它与s都是常数，所以上式说明夹在两个等压面之间的大气质量与等压面之间的压力差成正比。即相同的压力差之间的大气质量都相等而与气压的绝对值无关。这就证明了图(1B)是正确的。

图(2)是根据文献[2]计算的全球大气在气压和温度构成的相空间中的分布密度图（年平均）。图中每个黑点都代表相同的大气质量。任何部位如果黑点比较多，说明处于该压力温度区间的空气就越多。图中黑点几乎集中在一个倾斜的狭长地带，说明在全部地球大气中处于气压高地方而且温度也高的状态的空气多。而气压低的地方，空气都以低温状态出现。（图2就是前一讲，之11，中的附图）

      熵气象学（如文献[2]）过去揭示的一些面对全球大气的分布函数（如大气位温的分布函数^[3]）实际上都是这里介绍的广义大气密度函数。在熵气象学里可以找到更多的广义大气密度函数的实例。

6.讨论

广义大气密度函数概念开阔了认识大气分布规律的视野。促使我们考虑如下四方面的问题：从资料中分析在不同的相空间中大气密度的分布规律、给出不同空间中大气密度的普遍的换算公式、从理论上寻找在相空间中的大气方程组、把最大熵原理用到各种大气密度分布函数上去。

l         揭示大气在相空间中的分布

把广义的大气密度函数的含义放宽后，图（1）、图（2）仅是它们的个别的事例。现在这个函数中的自变量可以是几何空间（如过去），可以是本文介绍的压力温度和风矢量，也可以是其它的变量例如单位质量大气的能量（位能、内能、动能）、比湿、位温、涡度等等。它可以是这些变量构成的多维空间也可以是某个变量对应的一维相空间。

无论是一维空间的，还是多维空间的大气密度分布函数，用实际资料计算它的时候都要求用全球的同一时刻的全层大气资料（也可以用多时刻的资料计算年平均、月平均）。其计算方法见文献[2]。实际上从广义大气密度函数的定义不难看出文献[2]中介绍的全球大气中分布函数就是本文中介绍的广义大气密度函数。文献[2]中计算出来的面对全球大气的一维分布函数约有近10种，现在看来它们都是一维的广义大气密度函数的事例（那里也有一个三维相空间的例子）。

气象部门要得到每天的全球大气的全层资料并不难，要参照文献[2]计算广义大气密度每天的函数值也不难。现在应当有更多的这方面的实例揭示出来并且进一步寻找其规律性。

l         导出不同相空间中广义大气密度函数的普遍的换算公式

明确了广义大气密度函数的含义又知道了从实际气象观测数据中可以换算出这个函数来，估计可以找到一种通用的公式把一种（广义）大气密度函数换算出另外一种广义大气密度函数来。我们已经指出了大气密度与概率密度有等价关系^[1，2]，而在概率密度问题里对一一变换下的变量转换已经给出了变换公式^[4，5]，余下的任务是把它结合气象问题具体化。

l         揭示大气在相空间中的运动规律

空气确实在几何空间中运动，而这种运动也伴随着它在相空间中作对应的运动。空气在几何空间中的运动规律我们已经有了一个方程组了，空气在相空间中也应当有对应的方程组。

过去的连续方程实际是几何空间中的大气密度方程。现在有了相空间中的广义大气密度函数，当然也应当存在相空间的大气连续方程。过去我们使用几何空间里的运动方程组。当把自变量改为温度、压力和风矢量以后，我们要寻找出地球大气在这些变量组成的相空间的对应的方程组。

得到大气在相空间中的运动方程组就为认识大气运动提供了新的视角，也许它们使大气的规律体现得更鲜明。

l         在相空间里把最大熵原理和大气基本方程组联合起来

文献[1]指出对大气密度函数的一种积分具有熵的意义。由于大气运动本身就具有内在的随机性，熵是随机性导致的物质状态的复杂程度的度量，所以大气总体状态所对应的熵应当自动达到它力所能及的最大值。研究广义大气密度函数对于把最大熵原理与大气连续方程、运动方程、热力学第一定律在数值预报中协同处理、计算大气的变化自然要方便很多。可以想象多了一个方程，我们对大气运动的认识就提高一大步。

7.小结

l      
      本文把大气密度的含义从单位体积有多少空气扩大到单位相空间（如单位压力、单位温度等）里有多少空气。相空间里的大气密度是相空间位置和时间的函数（如图2）。它是广义的大气密度函数。

l       本文讨论了这个函数的积分性质、指出了它们与熵气象研究中引入的大气分布函数本质上是相同的。本文还提出了寻找不同的大气密度函数的换算公式和寻找在新空间里大气的基本方程组问题。

参考文献

1.          张学文.大气密度方程[J].气象学报,1998,56卷，3期：377~382

2.          张学文，马力.熵气象学.北京:气象出版社,1992,17~67

3.          马力、张学文.全球大气位温的两个不等价约束及其服从GAMMA分布的证明[J]         大气科学   1996，20卷，6期，713-719页

4.           F M Reza.  An Introduction to Information Theory[M].  New York: McGraw-Hill BOOK COMPANY INC.  1961,208-215

5.           S Chapman, T G Cowling.非均匀气体的数学理论[M]. 刘大有等.北京：科学出版社，1985年，26-28

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