水分循环有马尔科夫性质?！(4)—3元水分循环模型及其状态转移表

张学文（2013/12/18-23）

1.       前面的2元水分循环的模型（下）具有简单，并且帮助我们把分析语言转向马尔科夫过程意义。2元的过程过分简单，其特性不需要多讨论，现在我们改用3元的水分循环模型，并且在马尔科夫语境下讨论。

2.       所谓的三元水分循环,可以理解为把所讨论的地球水分(水体)划分为三个可区分的状态,并且认为水分（或者说水分子）可以在这三个状态中转化、循环。例如把地球上的水分状态分解为3种状态：空中水、海水、陆地水（陆地水包括了冰盖、冰川、湖泊、河流、土壤水、生物水等等）就是一种认识思路。这时就把前面的二元模型扩大为水分需要在三种状态之间的互相转化。下面我们依然用申农线图，图2 ，表示这些水分在这三种状态之间的互相转化。

图2三元的水分循环的申农线图（但是没有给出转移比率）

3.       与一般地理或者气象书籍上的水分循环图对比，本图中多了海水到海水之类这种自己状态到自己状态的箭头。你可以认为这是多余的箭头。但是这样体现着我们向概率论语言的靠拢,而且没有错误。

4.       在二元水分循环过程中一共有2×2=4个互相转化率。在三元水分循环模型下，三种状态的互相转化的途径就有3×3=9个（图2中的9个箭头）。与这个水分循环3元模型对应的一个水分状态转移比率的表（转移矩阵），可以见于表2中。

表2  3元的水分状态在一个时间步长中的转化率C的符号表（矩阵）

(从左侧状态开始转为各状态)

5.       与二元的状态转移表比起来，哪里的数据被这里的抽象符号代替了。我们用大写的C表示在一次水分循环过程中转移的比率(对应着条件概率)。而用其第一个下标o,l,a表示水分的转移前处于海水、陆地水、空中水状态，用其第二个下标o,l,a表示水分转移后则是海水、陆地水、空中水的状态。例如C_lo就表示在一步转移中陆地水分变成海水的比率（权重）。在地理学中它的含义是地球上所有流入海洋的(河水+地下水)的流量与陆地水的总量的比值。

6.       显然，符号C_oo、C_ll、C_aa分别表示在一个水分循环步长中海水、陆地水、空中水依然为对应的海洋水、陆地水、空中水的比率。下面的表3 给出各个符号所代表的比率（条件转移概率）的地理、气象含义。它们都是大于等于0，小于等于1的数。

表3 转换系数（条件转移概率）的含义

7.       如果我们仅分析气候学意义下的水分平衡背景下的水分循环，那么海水、陆地水、空中水的总量是不丢失的。这体现在如下的关系中(地球的三种水分都保持水分平衡，质量守恒)

C_oo+C_ol+C_oa=1   （1）

C_lo+C_ll+C_la=1   （2）

C_ao+C_al+C_aa=1   （3）

8.       根据水文学知识，不存在海水变成陆地水的过程，这在水分循环的三元矩阵中体现为：C_lo =0  （4），它也表示图2中从海洋到陆地的箭头对应的水分输送量=0。

9.       如果具体知道了这9个转移系数，我们就对三元的水分循环的机制有了个动态的了解。好了，本段内容已经不少，我们暂且到此为止。关于三元的水分循环的模型的其他环节后面再介绍

（2013.12.27注：今天发现原稿的公式（1),(2),(3)有误，于是修改为现在这样）